Сума катетів прямокутного трикутника дорівнює 70 см, а сума медіани і висоти, проведеної до гіпотенузи, - 49 см. Знайдіть периметр
трикутника.

Ответы

katyaydalova15 10.08.2022 01:00

Периметр треугольника равен 120 см

Объяснение:

Пусть один из катетов прямоугольного треугольника равен тогда второй — 70 - x.

По теореме Пифагора гипотенуза такого треугольника равна

$\sqrt {{x^2} + {{(70 - x)}^2}} = \sqrt {{x^2} + 4900 - 140x + {x^2}} = \sqrt {2{x^2} - 140x + 4900} .$

В прямоугольном треугольнике длина медианы, проведенной к гипотенузе, равна ее половине, т. е.

$m = \displaystyle\frac{{\sqrt {2{x^2} - 140x + 4900} }}{2},$

а высота, проведенная к гипотенузе, вычисляется через формулу $h = \displaystyle\frac{{ab}}{c},$ т. е.

$h = \displaystyle\frac{{x(70 - x)}}{{\sqrt {2{x^2} - 140x + 4900} }}.$

По условию

$m + h = 49;displaystyle\frac{{\sqrt {2{x^2} - 140x + 4900} }}{2} + \displaystyle\frac{{x(70 - x)}}{{\sqrt {2{x^2} - 140x + 4900} }} = 49.$

Заметим, что дискриминант квадратного трехчлена $2({x^2} - 70x + 2450)$ отрицательный, значит выражение под корнем никогда не превращается в ноль. Умножим обе части уравнения на $2\sqrt {2{x^2} - 140x + 4900}$ :

$2{x^2} - 140x + 4900 + 2x(70 - x) = 98\sqrt {2{x^2} - 140x + 4900} ;2{x^2} - 140x + 4900 + 140x - 2{x^2} = 98\sqrt {2{x^2} - 140x + 4900} ;98\sqrt {2{x^2} - 140x + 4900} = 4900;sqrt {2{x^2} - 140x + 4900} = 50;2{x^2} - 140x + 4900 = 2500;2{x^2} - 140x + 2400 = 0;{x^2} - 70x + 1200 = 0;left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 70,\\{x_1}{x_2} = 1200;\end{array} \right.{x_1} = 30,\,\,{x_2} = 40.$

Значит катеты треугольника 30 и 40, а гипотенуза

$\sqrt {{{30}^2} + {{40}^2}} = \sqrt {900 + 1600} = \sqrt {2500} = 50.$

Таким образом, периметр треугольника равен

P = 30 + 40 + 50 = 120.

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

axinoffdaniil 10.08.2022 01:00

Периметр треугольника равен 120 см.

Объяснение:

Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 70 см, а сумма медианы и высоты , проведенных к гипотенузе, равна 49 см . Найти периметр треугольника.

Пусть дан Δ АВС , в котором a и b - катеты , с - гипотенуза .

Тогда а+ b =70 см

Медиану, проведенную к гипотенузе, назовем $m{_c}$ , а высоту, проведенную к гипотенузе назовем $h{_c}$