Стороны основания правильной треугольной пирамиды 5 см, высота пирамиды равна 10 см. Найти полную поверхность пирамиды

Правильная треугольная пирамида.

Сторона основания = 5 см.

Высота пирамиды = 10 см.

S полн. поверх. = ? см².

Обозначим данную пирамиду буквами МАВС.

АВ = 5 см

МО = 10 см

Так как данная пирамида - правильная, треугольная ⇒ основание этой пирамиды - равносторонний треугольник, а вершина проецируется в центр основания (точку пересечения медиан, высот, биссектрис)

Равносторонний треугольник - это треугольник, у которого все стороны и углы равны.

⇒ AB = BC = CA = 5 см.

Проведём из вершины M к основанию правильной треугольной пирамиды апофему MK.

Апофема - высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из вершины этой пирамиды.

Апофема, проведённая к стороне основания правильной треугольной пирамиды, делит эту сторону пополам.

⇒ CK = KB = 5/2 = 2,5 см

Рассмотрим ΔCAK и ΔAKB:

ΔCAK = ΔAKB (они прямоугольные, так как AK - высота ΔABC; их равенство можно доказать по всем признакам равенства прямоугольных треугольников, исходя из того, что ΔABC - равносторонний).

Начертим вписанную окружность равностороннего ΔABC, центр которой - точка O.

OK - радиус этой окружности ⇒ OK = a/(2√3), где a - сторона равностороннего ΔABC.

OK = 5/(2√3) = (5√3)/(2 · 3) = (5√3)/6 см.

ΔKOM - прямоугольный, т.к. MO - высота. Найдём апофему MK по т.Пифагора (c = √(a² + b²), где c - гипотенуза, a, b - катеты):

MK = √(MO² + KO²) = √(10² + ((5√3)/6)²) = 35/(2√3) = (35√3)/6 см.

P оcнов. = P ΔABC = 5 + 5 + 5 = 5 · 3 = 15 см.

S бок. поверх. = 1/2 · P основ. · MK = 1/2 · 15 · (35√3)/6 = (175√3)/4 см².

S основ. = S ΔABC = (a²√3)/4 = (5²√3)/4 = (25√3)/4 см².

S полн. поверх. = S основ. + S бок. поверх. = (25√3)/4 + (175√3)/4 = (200√3)/4 = 50√3 см².