Сторона вписанного в окружность треугольника равна а. найдите сторону вписанного в эту окружность квадрата.

Вписанный треугольник равносторонний - иначе задачу не решить
тогда радиус описанной окружности  R = √3/3 a
диагональ вписанного квадрата равна диаметру окружности   d = 2R = 2√3/3 a
сторона квадрата  из теоремы Пифагора  b = d/√2 = 2√3/3 a/√2 = √6/3 a

ответ  √6/3 a