Сторона основания правильной треугольной призмы равна 12 см, диагональ боковой грани с плоскостью основания образует угол 45 градусов. Вычислите объем призмы.

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о формуле вычисления объема призмы. Объем V призмы можно вычислить по формуле:

V = S * h

где S - площадь основания призмы, а h - высота призмы.

В нашем случае, основание призмы является равносторонним треугольником со стороной 12 см. Площадь основания треугольной призмы можно вычислить по формуле:

S = (a^2 * √3) / 4

где a - длина стороны треугольника.

Расставим все известные данные в формулы:

S = (12^2 * √3) / 4
S ≈ 36√3

Далее, нам нужно вычислить высоту призмы - h. Для этого нам понадобится использовать теорему Пифагора, так как мы знаем диагональ боковой грани и угол, который она образует с плоскостью основания.

Из известного угла в 45 градусов, мы можем найти отношение между сторонами боковой грани прямоугольного треугольника:

sin(45°) = h / d

где h - высота призмы, а d - диагональ боковой грани.

Dано, что диагональ боковой грани равна 12 см, значит:

sin(45°) = h / 12

Так как sin(45°) = √2 / 2, мы можем выразить h:

√2 / 2 = h / 12

Перемножаем обе стороны уравнения на 12:

h = (12√2) / 2
h = 6√2

Теперь у нас есть все данные для вычисления объема призмы:

V = S * h
V ≈ (36√3) * (6√2)
V ≈ 36 * 6 * (√3 * √2)
V ≈ 216√6

Таким образом, объем призмы будет примерно равен 216√6 кубических сантиметров.