Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 3, двугранный угол при ребре основания равен 30°.
найти объем

решение представлено на фото

Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться формулой для объема правильной треугольной пирамиды: V = (1/3) * S * h, где V - объем пирамиды, S - площадь основания, h - высота пирамиды.

Однако, у нас неизвестна высота пирамиды, поэтому сначала нам нужно найти ее.

Мы знаем, что у пирамиды двугранный угол при ребре основания равен 30°. Такой угол разбивает боковую грань пирамиды на два равных прямоугольных треугольника.

Так как это правильная треугольная пирамида, каждый угол треугольника равен 60°. Также известно, что сумма углов треугольника равна 180°.

Мы можем использовать эту информацию для того, чтобы найти высоту пирамиды. Пусть h - высота пирамиды.

В треугольнике ABC (где A и B - вершины треугольника, а C - середина основания) угол ABC = 30°, а угол BAC = 60° (так как это равносторонний треугольник).

Тогда угол BCA (угол при основании пирамиды) = 180 - (30 + 60) = 90°.

Мы можем воспользоваться следующим соотношением в прямоугольном треугольнике BCA:

tg(BCA) = AC / BC.

Так как угол BAC = 60°, то угол BCA = 90°. Это значит, что tg(BCA) = 1.

Подставляем полученное значение, получаем:

1 = AC / 3.

AC = 3 (так как сторона основания равна 3).

Теперь мы можем найти высоту пирамиды h.

В треугольнике ABC у нас уже есть гипотенуза AC = 3 и один катет (половина стороны основания) BC = 3 / 2 = 1.5.

Используем теорему Пифагора: AC^2 = BC^2 + h^2.

Подставляем значения:

3^2 = 1.5^2 + h^2.

9 = 2.25 + h^2.

h^2 = 9 - 2.25 = 6.75.

h = √6.75.

Теперь у нас есть высота пирамиды h = √6.75.

Теперь, чтобы найти объем пирамиды, мы можем использовать формулу V = (1/3) * S * h.

У нас уже есть сторона основания равная 3, и площадь основания равна S = (3 * √3) / 4 (формула для площади правильного треугольника).

Подставляем значения:

V = (1/3) * (3 * √3) / 4 * √6.75.

Упрощаем выражение:

V = √3 * √6.75 / 4.

V = √20.25 / 4.

V = 4.5 / 4.

V = 1.125.

Ответ: объем пирамиды равен 1.125.