Середины сторон параллелограмма образуют ромб. Докажите что параллелограмм прямоугольник​

AndroidBot2018 AndroidBot2018    3   01.11.2020 10:13    64

Ответы
hihilaim hihilaim  01.12.2020 10:16

Дополнительное построение диагонали параллелограмма AC и BD

по условию вершины ромба являются серединами сторон параллелограмма, значит стороны ромба равны 1/2 диагоналей (AC и BD) параллелограмма (из свойств средней линии тр-ка)

а так как в ромбе все стороны равны значит и диагонали параллелограмма равны.

а следовательно этот параллелограмм прямоугольник

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Kiraпомошник Kiraпомошник  27.06.2021 18:51

Соединяя середины сторон параллелограмма, мы получим параллелограмм, так как стороны получившегося четырехугольника (MNPQ - см. чертеж!) являются средними линиями ( MN - для ΔABC,  NP - для ΔBCD и так далее), а значит MN ║ AC, QP ║ AC ⇒ MN ║ QP и, аналогично, MQ ║ BD, NP ║ BD ⇒ MQ ║ NP, но так как MNPQ - ромб (по условию), то по свойству средней линии: AC = BD (из равенства средних линий вытекает равенство сторон, которым они параллельны, так как стороны в 2 раза больше соответствующих средних линий)

Из равенства диагоналей параллелограмма следует, что он является прямоугольником (признак прямоугольника)


Середины сторон параллелограмма образуют ромб. Докажите что параллелограмм прямоугольник​
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
NiKaEmpty NiKaEmpty  27.06.2021 18:51

Для доказательства достаточно показать, что один из углов, например, угол С прямой. Тогда все углы параллелограмма будут прямыми и получится прямоугольник.

Пусть E, F, G и H середины сторон параллелограмма (см. рисунок).

Через пару точек E и F, G и H проведём прямые. Так как точки E и F, G и H середины сторон параллелограмма, то прямые EF || BC и GH || CD.

С другой стороны отрезки EF и GH являются диагоналями ромба EHFG и поэтому пересекаются под прямым углом, то есть EF⊥GH. Но EF || BC и GH || CD, откуда следует, что BC⊥CD, что и требовалось доказать.


Середины сторон параллелограмма образуют ромб. Докажите что параллелограмм прямоугольник​
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Геометрия