Самостоятельная работа «Вписанные и центральные углы»

Выберите вариант ответа (задания 1-8)

1. Угол, вершина которого лежит в центре окружности называется

А) центральным; Б) вписанным; В) описанным.

2. Угол, вершина которого лежит на окружности называется

А) центральным; Б) вписанным; В) описанным.

3. Вписанный угол равен

А) двойной величине дуги, на которую он опирается;

Б) дуге, на которую он опирается;

В) половине дуги на которую он опирается.

4. Центральный угол равен

А) двойной величине дуги, на которую он опирается;

Б) дуге, на которую он опирается;

В) половине дуги, на которую он опирается.

5. Чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу в 1200

А) 1200; Б) 600; В) 2400

6. Чему равен центральный угол, опирающийся на дугу в 400

А) 800; Б) 200; В) 400

7. Чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу в 1000

А) 500; Б) 1000; В) 2000.

8.Чему равен центральный угол, опирающийся на дугу в 800

А) 1600; Б) 800; В) 400.

Запишите ответ (задания 9-12):

9. Найдите ∠DEF, если градусные меры дуг DE и EF равны 150° и 68° соответственно.

hello_html_199091e2.png

10. Найдите ∠KOM, если известно, что градусная мера дуги MN равна 124°, а градусная мера дуги KN равна 180°. Точка O — центр окружности.

hello_html_ac221aa.png

11. Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Найдите градусную меру угла C треугольника ABC, если угол AOB равен 48°.

hello_html_m59d08634.png

12. Точка О — центр окружности, ∠AOB = 84° (см. рисунок). Найдите величину угла ACB (в градусах).

hello_html_6c2ac2d5.png

Запишите решение (задания 13,14):

13. Центральный угол AOB опирается на хорду AB длиной 6. При этом угол OAB равен 60°. Найдите радиус окружности.

hello_html_m2cb82668.png

14. Прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см вписан в окружность. Чему равен радиус этой окружности?

hello_html_m20a1dbb8.png

1. Угол, вершина которого лежит в центре окружности, называется центральным углом. (Ответ: А)

Объяснение: Центральный угол - это угол, вершина которого находится в центре окружности. Такой угол образуется двумя лучами, их начало и конец лежат на окружности. Все центральные углы, которые опираются на одну и ту же дугу окружности, имеют одинаковую величину, и составляют как бы сектор окружности.

2. Угол, вершина которого лежит на окружности, называется вписанным углом. (Ответ: Б)

Объяснение: Вписанный угол - это угол, вершина которого находится на окружности, а его стороны лежат внутри окружности. Вписанный угол образуется двумя лучами, их начало и конец лежат на окружности. Все вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу окружности, имеют одинаковую величину.

3. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. (Ответ: В)

Объяснение: Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Если вписанный угол опирается на дугу длиной A градусов, то он будет иметь величину A/2 градусов.

4. Центральный угол равен величине дуги, на которую он опирается. (Ответ: Б)

Объяснение: Центральный угол равен величине дуги, на которую он опирается. Если центральный угол опирается на дугу длиной A градусов, то он будет иметь величину A градусов.

5. Вписанный угол, опирающийся на дугу в 120 градусов, равен 60 градусов. (Ответ: Б)

Обоснование: Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Если дуга имеет величину 120 градусов, то вписанный угол будет равен 120/2 = 60 градусов.

6. Центральный угол, опирающийся на дугу в 400 градусов, равен 400 градусов. (Ответ: В)

Обоснование: Центральный угол равен величине дуги, на которую он опирается. Если дуга имеет величину 400 градусов, то центральный угол будет равен 400 градусов.

7. Вписанный угол, опирающийся на дугу в 1000 градусов, равен 500 градусов. (Ответ: А)

Обоснование: Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Если дуга имеет величину 1000 градусов, то вписанный угол будет равен 1000/2 = 500 градусов.

8. Центральный угол, опирающийся на дугу в 800 градусов, равен 800 градусов. (Ответ: В)

Обоснование: Центральный угол равен величине дуги, на которую он опирается. Если дуга имеет величину 800 градусов, то центральный угол будет равен 800 градусов.

Запишем ответы на задания 9-12:

9. Найдите ∠DEF, если градусные меры дуг DE и EF равны 150° и 68° соответственно.

Обоснование: Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Пусть ∠DEF = x градусов. Тогда, дуга DE = 150° и дуга EF = 68°.
Следовательно, ∠DEF = дуга DE/2 + дуга EF/2 = 150/2 + 68/2 = 75 + 34 = 109 градусов.

Ответ: ∠DEF = 109 градусов.

10. Найдите ∠KOM, если известно, что градусная мера дуги MN равна 124°, а градусная мера дуги KN равна 180°. Точка O — центр окружности.

Обоснование: В центральном угле градусная мера равна величине дуги, на которую он опирается. Пусть ∠KOM = x градусов. Тогда, дуга KN = 180° и дуга MN = 124°.
Следовательно, ∠KOM = дуга MN = 124 градусов.

Ответ: ∠KOM = 124 градусов.

11. Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Найдите градусную меру угла C треугольника ABC, если угол AOB равен 48°.

Обоснование: Центральный угол равен величине дуги, на которую он опирается. Пусть ∠C = x градусов. Тогда угол AOB = 48°.
Следовательно, ∠C = угол AOB = 48 градусов.

Ответ: ∠C = 48 градусов.

12. Точка О — центр окружности, ∠AOB = 84° (см. рисунок). Найдите величину угла ACB (в градусах).

Обоснование: Центральный угол равен величине дуги, на которую он опирается. Пусть ∠ACB = x градусов. Тогда ∠AOB = 84°.
Следовательно, величина угла ACB = угол AOB = 84 градусов.

Ответ: Величина угла ACB = 84 градусов.

Запишем решения на задания 13 и 14:

13. Центральный угол AOB опирается на хорду AB длиной 6. При этом угол OAB равен 60°. Найдите радиус окружности.

Обоснование: Центральный угол равен величине дуги, на которую он опирается. Пусть радиус окружности равен r. Тогда хорда AB = 6 и ∠OAB = 60°.
Так как угол на окружности всегда равен половине своей дуги, то ∠OAB = 60° соответствует дуге AB = 120°.
Так как дуга AB = 120°, то центральный угол AOB = 120°.
Таким образом, радиус окружности можно найти, применяя формулу для дуги и радиуса окружности: дуга = угол * радиус.
Подставив известные значения: 120° = 60° * r, мы можем найти радиус окружности.
120° = 60° * r
2 = r

Ответ: Радиус окружности равен 2.

14. Прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см вписан в окружность. Чему равен радиус этой окружности?

Обоснование: В прямоугольном треугольнике, вписанном в окружность, радиус окружности является половиной гипотенузы. Пусть радиус окружности равен r. Тогда катеты треугольника равны 5 см и 12 см.
Используя теорему Пифагора, мы можем найти гипотенузу треугольника: гипотенуза^2 = катет1^2 + катет2^2.
Гипотенуза^2 = 5^2 + 12^2
Гипотенуза^2 = 169
Гипотенуза = √169
Гипотенуза = 13 см.
Таким образом, радиус окружности равен половине гипотенузы, то есть r = 13/2.

Ответ: Радиус окружности равен 13/2 см или 6.5 см.