Самостоятельная работа 4.2
Прямоугольные треугольники
Вариант 1
А1. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60о, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 18 см. Найдите гипотенузу и меньший катет.
А2. На рисунке РО = ОМ, РКО =МТО = 90о. Докажите, что РК = МТ.
А3. В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АВ, равной 12 см, проведена высота СН. Найдите ВН и НА, если А = 30о

Добрый день! Конечно, я могу помочь вам с этими задачами.

A1. Для нахождения гипотенузы и меньшего катета нам понадобятся теоремы Пифагора и тригонометрии. Давайте начнем с того, что у нас есть прямоугольный треугольник, в котором один из углов равен 60 градусов. Мы также знаем, что сумма гипотенузы и меньшего катета равна 18 см.

Для начала, обозначим гипотенузу через "с" и меньший катет через "а". Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, которая гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае это выглядит так:

с² = а² + (а + 18)²

Теперь нам нужно решить эту квадратную уравнение для определения гипотенузы.

После раскрытия скобок и сокращений мы получаем следующее уравнение:

с² = а² + а² + 36а + 324

После объединения подобных членов мы получаем:

с² = 2а² + 36а + 324

Для удобства, перенесем все члены в одну сторону уравнения:

2а² + 36а + 324 - с² = 0

Мы получили квадратное уравнение, которое можно решить с помощью факторизации, квадратного корня или формулы дискриминанта. Здесь мы можем воспользоваться формулой дискриминанта:

D = (36²) - 4(2)(324 - с²)

D = 1296 - 2592 + 8с²

D = 8с² - 1296

Теперь, чтобы найти значения гипотенузы и меньшего катета, нам нужно найти корни этого уравнения. Если дискриминант D равен нулю, то у нас будет один корень. Если D больше нуля, то у нас будет два различных корня. Если D меньше нуля, то решений не будет.

Подставим значение D в формулу:

8с² - 1296 = 0

Из этого уравнения мы можем найти значение с. После нахождения с, мы можем найти значение меньшего катета, подставив его в исходное уравнение.

A2. Для доказательства того, что РК = МТ, нам нужно использовать теорему о равнобедренных треугольниках. Теорема гласит, что если у треугольника две равные стороны, то два угла, прилегающие к этим сторонам, также равны.

В нашем случае, РО = ОМ (по условию), РКО = МТО = 90 градусов (так как треугольник прямоугольный).

Таким образом, по теореме о равнобедренных треугольниках, РК = МТ. Доказано.

A3. У нас есть прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ, равной 12 см, и углом А = 30 градусов. Мы должны найти ВН и НА.

Для начала давайте найдем катет СН (высоту) с помощью тригонометрии. Мы знаем, что тангенс угла А равен отношению противоположной стороны к прилежащей, или в нашем случае СН к СВ. То есть tan(A) = СН/СВ.

Поскольку СВ (гипотенуза) равна 12 см, тангенс угла 30 градусов равен СН/12.

Мы знаем, что tan(30°) = √3/3. Таким образом, мы получаем уравнение:

√3/3 = СН/12

Чтобы найти СН, умножим обе части уравнения на 12:

СН = (12 * √3)/3

Теперь, чтобы найти ВН и НА, нам нужно использовать теорему Пифагора и получить катеты треугольника.

ВН² + СН² = АВ²

Подставим значение СН:

ВН² + [(12 * √3)/3]² = 12²

Упростим:

ВН² + 48 = 144

Вычтем 48 из обеих сторон:

ВН² = 144 - 48

ВН² = 96

ВН = √96

ВН = 4√6 см

Теперь мы можем найти НА, используя теорему Пифагора:

НА² = 12² - ВН²

НА² = 144 - 96

НА² = 48

НА = √48

НА = 4√3 см

Таким образом, ВН = 4√6 см и НА = 4√3 см.