С! в правильную четырёхугольную пирамиду вписан куб так, что четыре вершины куба лежат на основании пирамиды, а противоположные им вершины принадлежат боковым рёбрам пирамиды. найдите ребро куба, если высота пирамиды равна 4√2 см, а сторона основания пирамиды равна 8√2 см.

Примем ребро куба за х.
Проведём осевую секущую плоскость через диагональ основания пирамиды.
Получим равнобедренный треугольник с вписанным в него прямоугольником со сторонами х (по высоте) и х√2.
Основание треугольника равно 8√2*√2 = 16.
Из подобия треугольников составляем пропорцию:

16√2-4х = 2х,
6х = 16√2 или, сократив на 2, 3х = 8√2.
х = 8√2/3.