С скалярного произведения докажите, что прямые AB и CD перпендикулярны, если даны координаты точек A (2; 4); B (3; 0); C (-4; -4); D (4; -2).

Чтобы доказать, что прямые AB и CD перпендикулярны, мы можем использовать свойство скалярного произведения.

Скалярное произведение двух векторов определяется как произведение их длин и косинуса угла между ними. Если скалярное произведение равно нулю, то угол между векторами равен 90 градусов, что означает, что векторы перпендикулярны.

Давайте найдем векторы AB и CD и вычислим их скалярное произведение.

Вектор AB можно найти, вычтя координаты точки A из координат точки B:

AB = (3 - 2, 0 - 4) = (1, -4)

Вектор CD можно найти, вычтя координаты точки C из координат точки D:

CD = (4 - (-4), -2 - (-4)) = (8, 2)

Теперь вычислим скалярное произведение векторов AB и CD:

AB · CD = (1 * 8) + (-4 * 2) = 8 - 8 = 0

Получается, что скалярное произведение векторов AB и CD равно нулю. Из этого следует, что угол между векторами AB и CD равен 90 градусам, то есть прямые AB и CD перпендикулярны друг другу.

Таким образом, мы доказали, что прямые AB и CD перпендикулярны, используя скалярное произведение и вычислением векторов и их скалярного произведения.