, с геометрией.Задание 166

См. Объяснение

Объяснение:

Задание

№ 166

Неперпендикулярные плоскости α и β пересекаются по прямой MN. В плоскости β из точки А проведён перпендикуляр АВ к прямой MN и из той же точки А проведён перпендикуляр АС к плоскости α.

Докажите, что ∠АВС - линейный угол двугранного угла АМNC.

Доказательство

1) Определение. Линейный угол двугранного угла - это угол, образованный пересечением двугранного угла с плоскостью, перпендикулярной к его ребру.

2) Проведём через  точки А, В и С плоскость γ.

Такая плоскость является единственной, так как, согласно аксиоме геометрии, через 3 точки можно провести плоскость, и притом только одну.

3) Линия пересечения плоскостей β и γ проходит по прямой АВ, которая, согласно условию, принадлежит плоскости β и  перпендикулярна MN, а если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны; следовательно,

плоскость γ ⊥ плоскости β.

4) Согласно условию задачи, АС ⊥ плоскости α;  следовательно, АС⊥СВ, так как СВ ∈ плоскости α, а согласно определению, прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой  плоскости.

А так как АС ∈ γ, то из этого следует, что плоскость γ ⊥ плоскости α.

5) Таким образом, плоскость γ ⊥ плоскости α и ⊥ плоскости β, в силу чего перпендикулярна ребру МN двугранного угла АМNC, а ∠АВС, лежащий в плоскости γ , является линейным углом двугранного угла АМNC, - что и требовалось доказать.

Если прямая (MN) в плоскости перпендикулярна наклонной (AB), то она перпендикулярна и её проекции (BC).

AC⊥a, AB⊥MN => BC⊥MN (по т о трех перпендикулярах)

Угол между плоскостями - угол между перпендикулярами к общей прямой.

AB⊥MN, BC⊥MN => ∠ABC - линейный угол двугранного угла AMNC