(( Рисунок обязателен )) В произвольном четырехугольнике, диагонали которого перпендикулярны, последовательно соединили середины сторон.

а) докажите, что полученная фигура будет являться прямоугольником
б) найдите периметр и площадь полученного прямоугольника, если диагонали исходного четырехугольника равны 5 см и 10 см

Відповідь:

Четырехугольник А1В1С1Д1 - прямоугольник.

П = 15 см.

S = 12,5 см^2.

Пояснення:

В произвольном четырехугольнике АВСД диагонали АС и ВД пересекаются под прямыми углами. АС = 10 см., а ВД = 5 см. Соединим середины сторон четырехугольника АВСД и получим четырехугольник А1В1С1Д1. Докажем, что четырехугольник А1В1С1Д1 - является прямоугольником.

Рассмотрим треугольник АВС. Отрезок А1В1 - является средней линией этого треугольника, так как расстояние от диагонали АС до точек А1 и С1 равно половине расстояния от диагонали АС до точки В. Так как А1В1 - средняя линия треугольника АВС, то А1В1 параллельна диагонали АС и А1В1 = 1/2 × АС = 1/2 × 10 = 5 см.

Аналогично доказывается, что С1Д1 -средняя линия треугольника АСД, что А1Д1 - средняя линия треугольника АВД, что В1С1 - средняя линия треугольника ВСД.

В1С1 = 1/2 × ВД = 1/2 × 5 = 2,5 см.

Так как А1В1 и С1Д1 параллельны диагонали АС, то они параллельны и между собой.

Так как А1Д1 и В1С1 параллельны диагонали ВД, то они параллельны и между собой.

Так как диагонали АС и ВД перпендикулярны, то порарно перпендикулярны между собой и отрезки А1В1, В1С1, С1Д1, Д1А1, значит четырехугольник А1В1С1Д1 - является прямоугольником.

Выше мы доказали, что А1В1 = С1Д1 = 5см., а В1С1 = Д1А1 = 2,5 см.

Значит периметр четырехугольника А1В1С1Д1

П = 5 + 2,5 + 5 + 2,5 = 15 см.

Площадь четырехугольника А1В1С1Д1

S = 5 × 2,5 = 12,5 см^2.