Решите все с дано,доказать, доказательство Треугольники BCD и АКЕ равны. Известно, что AK 20 см, = 54°, ZE = 60°. Найдите соответствующие углы и сторону треугольника BCD.

2°. Отрезки АВ и CD равны и перпендикулярны отрезку BD. Докажите, что AD СМ (рис. 39).

3. На основании АС равнобедренно- го треугольника АВС взяты точки Е и D, такие, что AE CD. Докажите, что BE = BD

Рис. 39

​

1. Для доказательства равенства треугольников BCD и АКЕ, мы можем использовать два признака равенства треугольников: "сторона-угол-сторона" (СУС) и "угол-сторона-угол" (УСУ).

Дано:
- AK = 20 см
- Угол АКЕ = 54°
- Угол ZE = 60°

Доказательство с помощью признака СУС:
1. У треугольника BCD у нас есть сторона BD, на которой лежит угол D.
2. У треугольника АКЕ у нас есть сторона AK, на которой лежит угол К.
3. Мы уже знаем, что AK = 20 см.
4. Если мы сможем доказать, что сторона BD в треугольнике BCD равна стороне AK в треугольнике АКЕ, то мы сможем применить признак СУС и доказать равенство треугольников.

Доказательство равенства сторон BD и AK:
1. Рассмотрим треугольник BDE.
2. В этом треугольнике у нас есть известный угол D (так как он лежит на стороне BD) и известный угол ZE = 60°.
3. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, мы можем вычислить третий угол E: E = 180° - D - ZE = 180° - D - 60° = 120° - D.
4. Также известно, что угол АКЕ = 54°.
5. Теперь у нас есть 2 треугольника с двумя известными углами каждый: треугольник BDE с углами D и E, и треугольник АКЕ с углами К и А.
6. Поскольку треугольники BDE и АКЕ имеют два равных угла, мы можем сделать вывод, что третий угол каждого из треугольников также равен.
7. E = 120° - D, а К = 54°.
8. По свойству суммы углов треугольника, сумма углов треугольника BDE должна быть равна 180°.
9. D + E + 60° = 180° (так как угол ZE = 60°).
10. D + (120° - D) + 60° = 180° (подставляем найденные значения углов).
11. 180° - D + 120° + 60° - D = 180°.
12. 360° - 2D = 180°.
13. 2D = 360° - 180°.
14. 2D = 180°.
15. D = 90°.
16. Таким образом, мы доказали, что угол D в треугольнике BDE равен 90°.
17. Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для доказательства равенства сторон BD и AK.
18. В треугольнике BDE у нас есть прямой угол D, поэтому он является прямоугольным треугольником.
19. Зная угол D = 90° и сторону BD, мы можем использовать теорему Пифагора: BD² = BE² + DE².
20. В треугольнике АКЕ у нас есть сторона AK = 20 см и угол К = 54°.
21. Мы уже вычислили угол E = 120° - D = 120° - 90° = 30°.
22. В треугольнике BDE у нас есть сторона DE и угол E = 30°.
23. Мы можем использовать теорему синусов для вычисления стороны DE: DE / sin(E) = BD / sin(D).
24. DE / sin(30°) = BD / sin(90°).
25. DE / 0.5 = BD / 1.
26. DE = 0.5 × BD.
27. Теперь мы можем подставить это значение в теорему Пифагора: BD² = BE² + (0.5 × BD)².
28. BD² = BE² + 0.25 × BD².
29. Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби: 4 × BD² = 4 × BE² + BD².
30. 4 × BD² - BD² = 4 × BE².
31. 3 × BD² = 4 × BE².
32. Теперь мы должны заметить, что в треугольнике АКЕ у нас есть угол К = 54° и сторона AK = 20 см.
33. Мы можем использовать теорему синусов, чтобы вычислить сторону AE: AE / sin(К) = AK / sin(60°).
34. AE / sin(54°) = 20 / sin(60°).
35. AE / 0.866 = 20 / 0.866 (синус 54° и синус 60° равны соответственно 0.866).
36. AE = 20 / 0.866.
37. Найдем значение AE: AE ≈ 23.094 см.
38. Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для вычисления стороны BE: BE² = AE² - AK².
39. BE² = (23.094)² - (20)².
40. BE² = 533.523 - 400.
41. BE² ≈ 133.523.
42. Подставим это значение в уравнение 3 × BD² = 4 × BE²: 3 × BD² = 4 × 133.523.
43. 3 × BD² = 534.092.
44. Разделим обе части на 3: BD² = 534.092 / 3.
45. BD² ≈ 178.031.
46. Найдем квадратный корень из этого числа: BD ≈ √178.031.
47. BD ≈ 13.34 см.

Таким образом, мы доказали, что угол D в треугольнике BCD равен 90°, сторона BD ≈ 13.34 см, угол B в треугольнике BCD равен 60° (поскольку угол ZE = 60°), а углы C и D в треугольнике BCD составляются из 90° и угла АКЕ (который равен 54°) вместе.

2. Чтобы доказать, что AD СМ, мы можем использовать определение перпендикулярности и свойство равных отрезков.

Дано:
- АВ и CD равны
- АВ перпендикулярно BD

Доказательство:
1. По определению перпендикулярности, если две линии перпендикулярны, то угол между ними равен 90°.
2. Мы знаем, что АВ перпендикулярна BD, поэтому угол ABD = 90°.
3. Также нам дано, что АВ и CD равны.
4. По определению равных отрезков, если два отрезка равны, то они имеют одинаковую длину.
5. Из этого следует, что AB = CD.
6. Теперь мы можем использовать свойство равных отрезков для доказательства равенства отрезков AD и CM.
7. Поскольку AB = CD, мы можем заменить отрезки AB и CD на одно обозначение, например, x.
8. Тогда AB = CD = x.
9. Так как BD = AD + AB и BD = BD (так как отрезок равен самому себе), мы можем заменить эти значения на значения длины отрезка x: BD = AD + x и BD = x.
10. Теперь мы можем записать уравнение: x = AD + x.
11. Вычитая x из обеих частей уравнения, получаем: 0 = AD.
12. Таким образом, мы доказали, что AD = 0, что означает, что AD является точкой.

Таким образом, мы доказали, что AD является точкой, что подтверждает, что AD СМ (AD совпадает с М).

3. Чтобы доказать, что BE = BD, мы можем использовать свойство равнобедренных треугольников и свойство равных углов.

Дано:
- АС - основание равнобедренного треугольника АВС
- Точки Е и D на основании АС
- AE = CD

Доказательство:
1. Равнобедренный треугольник - это треугольник, у которого две стороны равны.
2. Мы знаем, что АС - основа равнобедренного треугольника АВС, поэтому AB = AC.
3. Также нам дано, что AE = CD.
4. Мы уже знаем, что AB = AC, поэтому мы можем заменить AE и CD на AB и AC соответственно: AB = CD.
5. Теперь у нас есть равенство сторон в равнобедренном треугольнике и равенство сторон во внешнем треугольнике.
6. Мы также знаем, что AB = CD и AE = CD, следовательно, AB = AE.
7. Теперь мы можем использовать свойство равных углов для доказательства равенства углов ABE и ABC.
8. Рассмотрим треугольник ABE.
9. У нас уже есть равные стороны AB и AE.
10. Мы также знаем, что угол BAE в треугольнике ABE равен углу BAC в треугольнике ABC (это свойство равных углов при равных сторонах).
11. Теперь у нас есть два треугольника с двумя равными сторонами и одним равным углом: треугольникы ABC и ABE.
12. По признаку равенства треугольников "сторона-угол-сторона" (СУС), мы можем сделать вывод, что углы BAE и BAC равны.
13. Таким же образом мы можем доказать равенство углов BCE и BCA.
14. Теперь у нас есть два треугольника с двумя равными углами и одним равным углом: треугольники ABC и BCE.
15. Следовательно, третий угол каждого из этих треугольников также равен.
16. У нас есть угол ABC в треугольнике ABC и угол BCE в треугольнике BCE.
17. Поскольку эти углы равны, а угол ABC = BCA, мы можем заключить, что угол BCE также равен BCA.
18. Теперь мы знаем, что третий угол в треугольнике BCD равен углу BCA.
19. Теперь мы также знаем, что угол BCE в треугольнике BCD равен BCA.
20. Следовательно, углы BCD и BCE равны.
21. Опять же, по свойству равных углов при равных сторонах, мы можем заключить, что BE = BD.

Таким образом, мы доказали, что BE = BD, поскольку у нас есть равные углы BCD и BCE и равные стороны AB и AC.