решить задание из профильного ЕГЭ по математике.

Данную задачу можно решить двумя геометрическим и 2) векторным.

2) Поместим призму в прямоугольную систему координат вершиной А в начало и вершиной В по оси Оу.

Координаты: точка А1(0; 0; 3), М(√3/2; (3/2); 0).

Вектор А1М = ((√3/2; (3/2); -3), его модуль = √((3/4) + (9/4) + 9) =√12

Координаты: точка В1(0; 2; 3), С(√3; 1; 0).

Вектор В1С = ((√3; -1; -3), его модуль = √((3 + 1 + 9) =√13.

cos α = ((3/2)*√3 + (3/2)*(-1) + (-3)*(-3)/(√12*√13) = 9/(2√39) ≈ 0,72058.

.

Правильная треугольная призма – в основании правильный треугольник, боковые грани перпендикулярны основаниям.  

Биссектриса AM является медианой, M - середина BC

N - середина B1B, MN - средняя линия CBB1, MN||B1C

A1MN - искомый угол  

т Пифагора:

B1C=√13; MN=√13/2

AM =√3; A1M =2√3

A1N =5/2  

Теорема косинусов

A1N^2 =A1M^2 +MN^2 -2 *A1M *MN *cos(A1MN)

cos(A1MN) =(12 +13/4 -25/4)/2*2√3*√13/2 =3√3/2√13