Решить, ! в правильной треугольной призме abca1b1c1 ab=2 см, aa1=1 см. 1) найдите площадь полной поверхности призмы. 2) найдите площадь сечения призмы плоскостью acb1. 3) найдите угол, который составляет прямая ab1 с плоскостью abc. 4) найдите угол между плоскостями ab1c и abc. 5) найдите длину вектора aa1-ac+2b1b-c1c 6) докажите, что прямая a1c1 параллельна плоскости acb1.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 AB=2 см, AA1=1 см.

1) Найдите площадь полной поверхности призмы.

площадь основания S1 =AB*AB*sin(pi/3)*1/2 = корень(3)
боковая площадь S2 =AB*AA1*3 = 2*1*3=6
площадь полной поверхности призмы S3 = 2*S1+S2 = 2*корень(3) + 6

2) Найдите площадь сечения призмы плоскостью ACB1.
площадь основания S1 = AB*AB*sin(pi/3)*1/2 = корень(3)
высота треугольника основания h =AB*sin(pi/3)=корень(3)
высота треугольника сечения h1 = корень(h^2+AA1^2)=2
площадь сечения призмы плоскостью ACB1 S4 = S1*h1/h = корень(3) * 2/корень(3) = 2

3) Найдите угол, который составляет прямая AB1 с плоскостью ABC.
тангенс угла = BB1/AB=1/2
угол = арктангенс(0,5)

4) Найдите угол между плоскостями AB1C и ABC.
высота треугольника основания h =AB*sin(pi/3)=корень(3)
тангенс угла = BB1/h=1/корень(3)
угол = арктангенс(1/корень(3)) = pi/6 = 30 градусов

5) Найдите длину вектора AA1-AC+2B1B-C1C
AA1-AC+2B1B-C1C=CА+B1B+СC1=CА+A1A+AA1=CA
ответ - 2 см

6) Докажите, что прямая A1C1 параллельна плоскости ACB1.
прямая  A1C1 параллельна прямой АС, лежащей вплоскости ACB1, значит параллельна плоскости ACB1

1) В основании правильной треугольной призмы лежит правильный треугольник со стороной АВ = 2. По свойствам правильного треугольника Sосн.= √3⋅АВ^2/ 4
Таких оснований у нас 2.
Сторона  призмы это прямоугольник со сторонами АВ = 2 и АА1 = 1
S бок = АВ * АА1 , Таких сторон у нас 3.
Получаем Sполное = 2*Sосн . + 3* Sбок. = 2 * √3⋅АВ^2/ 4 + 3 АВ *АА1 = 2√3⋅2^2/4 + 3 *2*1 =  2√3 +6 = 9,46 см2
2) треугольник АСВ1 равнобедренный Основание АС =2 см, Надо найти ВН - высота, в равнобедренной треугольнике она является медианой и биссектрисой
Из прямоугольника СС1ВВ1 найдем СВ1 
СВ = 2 см, ВВ1 = 1 см
СВ1^2 = CB^2+BB1^2
CB1^2 = 2^2 +1^2 = 5
CB1 =  корень из 5
Треугольник НВ1С прямоугольный, В1Н^2  = CB1^2 - HC^2
HC = AC /2 = 2/2 = 1см
B1H^2 = (корень из 5)^2 - 1^2 = 5-1 = 4
B1H = 2 cм
S = B1H*AC /2 
S = 2 *2 /2 = 2 cm^2 
 3) рассмотрим треугольник АВВ1 - он прямоугольный т.к. призма правильная
надо найти угол ВАВ1
 tg BAB1 = BB1/ AB = 1/2
примерно 27 град.
4) т.к. прямая АВ1 принадлежит плоскости АВ1С,  значит этот угол  есть то, что мы искали в п.3
дальше подумаю.