Решить .какие ктонадо вариант 1

1. отрезки кn и pt пересекаются в точке o и делятся ею пополам. докажите, что kp = nt.

2. в mnk mn = nk, np – медиана, knp = 40°. найдите mnk.

3. периметр равнобедренного треугольника равен 15,3см. его основание больше боковой стороны на 3 см. найдите стороны треугольника.

4. луч ак – биссектриса угла а. на сторонах угла а отмечены точки в и с так, что hello_html_40701f0d.gifакв = hello_html_40701f0d.gifакс. докажите, что ав = ас.

вариант 2

1. bd=ac и bc = ad. докажите, что adb = acb.

hello_html_m101747f9.png

2. в mnk mn = nk, nc – медиана, mnk = 120°. найдите mnc.

3. периметр равнобедренного треугольника равен 13,6см. его основание меньше боковой стороны на 2 см. найдите стороны треугольника.

4. на сторонах угла а отмечены точки м и k так, что ам = аk. точка р лежит внутри угла а и рk = рм. докажите, что луч ар – биссектриса угла маk.​

Вариант 1:

1. Для доказательства равенства KP = NT, воспользуемся свойством точки пересечения отрезков, делящихся ею пополам. По определению, если точка O делит отрезки KN и PT пополам, то она является их серединой, т.е. средней точкой отрезков. Из этого следует, что отрезки KO и OP, а также NO и OT также являются срединными отрезками и равны между собой. Тогда, используя свойство срединного отрезка, можно сказать, что KO = ON и OP = PT. Теперь обратим внимание на треугольники KPН и ОТN. У них имеются две равные стороны (свойство срединного отрезка), а также общий угол ONK (поскольку NP является перпендикуляром к ON в точке N). Из этих двух равенств и свойства равности треугольников по стороне-прилежащей-стороне следует, что эти треугольники равны между собой. То есть, KP = NT.

2. Для нахождения угла MNK, воспользуемся свойством суммы углов треугольника. Так как MN = NK в данном треугольнике, угол MNK будет равным углу NKM, поскольку это равнобедренный треугольник. Также, из условия задачи, угол KNП = 40°. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, можно вычислить угол MNK следующим образом:

Угол MNK + угол NKM + угол KNM = 180°.
Угол NKM + угол KNM = угол KNП = 40°.
Угол MNK + 40° = 180°.
Угол MNK = 140°.

Таким образом, угол MNK равен 140°.

3. Пусть x - длина боковой стороны равнобедренного треугольника, тогда основание будет иметь длину x + 3 (поскольку основание больше боковой стороны на 3 см). Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон. Для равнобедренного треугольника длина боковой стороны равна длине основания, поэтому периметр равен 2x + (x + 3) = 3x + 3. Из условия задачи периметр равен 15.3 см, поэтому: 3x + 3 = 15.3, 3x = 12.3, x = 4.1. Таким образом, боковая сторона равна 4.1 см, а основание равно 4.1 + 3 = 7.1 см.

4. Для доказательства равенства AV = AC, воспользуемся свойством биссектрисы угла. Если луч AK является биссектрисой угла A, то он делит угол A на два равных угла. Из условия задачи известно, что угол АКП = угол КАС, а также угол АКВ = угол ВАС. Отсюда следует, что угол ВАС равен полусумме углов АКП и АКВ. То есть, угол ВАС = (угол АКП + угол АКВ) / 2. Теперь рассмотрим треугольники АКП и АКВ. У них есть две равные стороны (сторона АК общая, что следует из условия задачи, а сторона АК также равна стороне АК из-за равенства длин отрезков) и равные углы АКП и АКВ. Из этого следует, что треугольники АКП и АКВ равны между собой. Из равенства треугольника следует, что сторона ВК равна стороне ПВ. Также, по условию задачи, угол ВКП равен углу КВА. Тогда по свойству равных треугольников сторона ВА будет равна стороне AC, то есть AV = AC.

Вариант 2:

1. Для доказательства равенства углов ADB и ACB, воспользуемся свойством треугольника, углы которого на основаниях равны. Из условия задачи известно, что стороны BD и AC равны, поэтому треугольник ADB равен треугольнику ABC. В равных треугольниках соответственные углы равны, поэтому угол ADB равен углу ACB.

2. Для нахождения угла MNC, воспользуемся свойствами треугольника. Из условия задачи известно, что треугольник MNK равносторонний, следовательно, его углы равны 60°. Медиана треугольника разделяет основание на две равные части, поэтому угол МNC будет равен половине угла MNK: MNC = 60° / 2 = 30°.

3. Пусть x - длина боковой стороны равнобедренного треугольника, тогда основание будет иметь длину x - 2 (поскольку основание меньше боковой стороны на 2 см). Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон. Для равнобедренного треугольника длина боковой стороны равна длине основания, поэтому периметр равен 2x + (x - 2) = 3x - 2. Из условия задачи периметр равен 13.6 см, поэтому: 3x - 2 = 13.6, 3x = 15.6, x = 5.2. Таким образом, боковая сторона равна 5.2 см, а основание равно 5.2 - 2 = 3.2 см.

4. Для доказательства того, что луч АP является биссектрисой угла MAK, воспользуемся свойством биссектрисы угла, которое гласит, что биссектриса делит противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам угла. Из условия задачи известно, что AM = AK и меры отрезков PK и PM равны. Таким образом, сторона МR будет равна стороне RK, а сторона AR будет равна стороне RP. Поскольку стороны AR и PR равны, угол APK будет равным углу MPK (по свойству треугольника с равными сторонами), откуда следует, что луч АP делит угол MAK пополам. Таким образом, луч АP является биссектрисой угла MAK.