решить
1. В параллелограмме ABCD на стороне ВC взята точка N. отрезок AN пересекает диагональ BD в точке О. BN=9; NC=3; BO=4,5. Найдите длину BD.
2. В треугольнике АВС АВ=16; ВС=12; АС=20, проведены биссектриса СР и отрезок РК, параллельный ВС. Точка К на АС. Найдите длины отрезков АР, РВ и РК.
3. В трапеции ABCD ВС и AD параллельны, ВС=4,8; DA=6,2. На стороне СD взята
точка Е так, что СЕ:ED как 3:2. Луч BE пересекает продолжение AD в точке P. Найдите площадь треугольника ABP, если высота трапеции равна 4.

1. Чтобы найти длину BD, мы можем использовать теорему о подобии треугольников. Рассмотрим треугольники ABO и BNC. Они подобны, так как у них есть два равных угла: угол B и угол OBN (по свойству параллелограмма ABCD). Также, используя теорему о сторонах пропорциональных треугольников, получаем соотношение:

BN/NC = BO/OA

Подставляем известные числа:

9/3 = 4.5/OA

Упрощаем:

3 = 4.5/OA

Переносим OA в другую часть уравнения:

OA = 4.5/3

Вычисляем:

OA = 1.5

Используя теорему Пифагора в треугольнике ABO:

AB^2 + OA^2 = BO^2

AB^2 + 1.5^2 = 4.5^2

AB^2 + 2.25 = 20.25

AB^2 = 20.25 - 2.25

AB^2 = 18

AB = √18

AB = 3√2

Так как BD = 2AB (так как диагональ в параллелограмме делит его на два равных треугольника), то:

BD = 2 * 3√2

BD = 6√2

Ответ: Длина BD равна 6√2.

2. Чтобы найти длины отрезков АР, РВ и РК, мы можем использовать теорему углового и линейного распределения. Рассмотрим треугольники АСР и РВС. Они подобны, так как угол САР равен углу ВРС (отрезок РК параллельный стороне ВС). Мы также знаем, что отрезок СР является биссектрисой угла АСВ.

Используем теорему биссектрисы:

АР/РС = АВ/ВС

Подставляем известные числа:

АР/РС = 16/12

Упрощаем:

4/РС = 4/3

Перемножаем крест на крест:

4 * 3 = РС * 4

12 = РС * 4

РС = 12/4

РС = 3

Так как СР является биссектрисой угла АСВ, то расстояние от точки Р до стороны АВ равно половине длины РС, то есть:

АР = РС/2

АР = 3/2

Ответ: Длина АР равна 3/2, длина РВ равна 3, длина РК равна 3.

3. Чтобы найти площадь треугольника ABP, мы можем использовать формулу для площади треугольника: площадь = (основание * высота)/2.

Мы знаем, что площадь равна высоте треугольника ABP, умноженной на основание AB, и деленной на 2. Также, мы знаем, что высота трапеции равна 4, поэтому площадь треугольника равна 4 * AB / 2.

Чтобы найти основание AB, нам нужно найти длину отрезка CD. Используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике ADC:

CD^2 = DA^2 + AC^2

CD^2 = 6.2^2 + 4.8^2

CD^2 = 38.44 + 23.04

CD^2 = 61.48

CD = √61.48

CD = 7.84

Теперь, используя соотношение сторон параллелограмма, мы можем найти длину AB:

AB = CD * BC / DC

AB = 7.84 * 4.8 / 12

AB = 3.136

Теперь, подставляем известные значения в формулу для площади треугольника:

площадь = 4 * 3.136 / 2

площадь = 12.544 / 2

площадь = 6.272

Ответ: Площадь треугольника ABP равна 6.272.