Развертка боковой поверхности конуса – сектор с центральным углом 120°. Найдите объем конуса, если его радиус основания равен 5

Для решения данной задачи нужно использовать формулу, которая связывает объем конуса с его высотой и радиусом основания. Формула для объема конуса выглядит следующим образом:

V = (1/3) * π * r² * h,

где V - объем конуса, π - число пи (приближенное значение 3.14), r - радиус основания конуса, h - высота конуса.

В данном вопросе даны данные о развертке боковой поверхности конуса, которая является сектором с центральным углом 120°. Чтобы найти объем конуса, нам необходимо найти его высоту h.

1) Найдем длину окружности основания конуса. Для этого воспользуемся формулой для длины окружности:

C = 2 * π * r,

где C - длина окружности, r - радиус основания конуса.

В данном случае радиус основания равен 5, поэтому подставляем значение в формулу:

C = 2 * π * 5 = 10π.

2) Так как развертка боковой поверхности конуса - сектор с центральным углом 120°, то длина дуги этого сектора будет равна 120°/360° * C = 1/3 * C = 1/3 * 10π = (10/3)π.

3) Теперь мы знаем длину окружности основания конуса и длину дуги боковой поверхности конуса.
Длина окружности основания конуса равна длине дуги на высоте h.
Соотношение между длиной дуги и высотой для конуса одинаково на любой высоте и равно:

l = 2πr * (α/360) = C * (α/360),

где l - длина дуги на высоте h, α - центральный угол (для данной задачи, угол сектора с длиной дуги).

Получаем:

(10/3)π = C * (α/360).

4) Найдем высоту конуса, подставив известные значения:

(10/3)π = 10π * (α/360).

Упростим выражение:

(1/3) = α/360.

Перенесем переменную α влево, умножив обе части уравнения на 360:

α = (1/3) * 360 = 120.

Таким образом, центральный угол α равен 120°.

5) Теперь, когда мы знаем центральный угол и радиус основания конуса, мы можем использовать формулу для объема конуса:

V = (1/3) * π * r² * h.

Подставляем известные значения:

V = (1/3) * π * 5² * h.

Упростим выражение:

V = (1/3) * π * 25 * h.

Используя ранее найденное значение центрального угла:

V = (1/3) * π * 25 * 120°/360°.

Сократим 120°/360°:

V = (1/3) * π * 25 * 1/3.

Упростим выражение:

V = (25π/9).

Таким образом, объем конуса равен (25π/9). Ответом будет (25π/9) или приближенное значение 8.72664626 (округленное до восьми знаков после запятой).