Равносторонний треугольник с стороной 8 см вращается вокруг своей высоты. Найдите объем и площадь полной поверхности полученного тела.

Хорошо, давайте решим данную задачу.

Чтобы найти объем и площадь полной поверхности полученного тела, нам понадобятся некоторые формулы и свойства геометрии.

1. Объем полученного тела:
Объем тела, полученного вращением равностороннего треугольника вокруг его высоты, можно найти с помощью формулы объема цилиндра.

Объем цилиндра вычисляется по формуле:
V = площадь основы * высота

В нашем случае, основой цилиндра является равносторонний треугольник, а его высота равна стороне треугольника.

Площадь основы цилиндра можно найти с помощью формулы площади равностороннего треугольника.

Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле:
S = (корень из 3 / 4) * a^2,
где a - длина стороны треугольника.

Итак, подставим значения в формулу объема цилиндра:
V = (корень из 3 / 4) * a^2 * a,
где a = 8 см (длина стороны треугольника).

V = (корень из 3 / 4) * 8^2 * 8
V = (корень из 3 / 4) * 64 * 8
V = (корень из 3 / 4) * 512
V ≈ 221.77 см^3 (округлим до сотых).

Таким образом, объем полученного тела составляет около 221.77 см^3.

2. Площадь полной поверхности полученного тела:
Для нахождения площади полной поверхности нужно учесть две составляющие: площадь боковой поверхности цилиндра и площадь двух оснований.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:
Sбок. = площадь окружности * высота цилиндра.

Площадь окружности вычисляется по формуле:
Sокр. = пи * r^2,
где r - радиус окружности, равный половине стороны треугольника.

Высота цилиндра равна стороне треугольника.

Таким образом, подставим значения в формулу площади боковой поверхности цилиндра:
Sбок. = пи * (a / 2)^2 * a,
где a = 8 см (длина стороны треугольника).

Sбок. = пи * (8 / 2)^2 * 8
Sбок. = пи * 4^2 * 8
Sбок. = пи * 16 * 8
Sбок. ≈ 402.12 см^2 (округлим до сотых).

Теперь найдем площадь двух оснований цилиндра (двух равносторонних треугольников).
Площадь одного треугольника считается по формуле, которую мы использовали ранее:
S = (корень из 3 / 4) * a^2,
где a - длина стороны треугольника.

Таким образом, площадь двух оснований равна:
Sосн. = 2 * S = 2 * (корень из 3 / 4) * a^2,
где a = 8 см (длина стороны треугольника).

Sосн. = 2 * (корень из 3 / 4) * 8^2
Sосн. = 2 * (корень из 3 / 4) * 64
Sосн. = 2 * (корень из 3 / 4) * 64
Sосн. ≈ 221.77 см^2 (округлим до сотых).

Теперь сложим площадь боковой поверхности и площадь двух оснований:
Sп.п. = Sбок. + Sосн.
Sп.п. ≈ 402.12 + 221.77
Sп.п. ≈ 623.89 см^2 (округлим до сотых).

Таким образом, площадь полной поверхности полученного тела составляет около 623.89 см^2.

Вот и весь объем и площадь полной поверхности полученного тела.