Рассчитай площадь сечения, которое построено через центр грани ADC правильного тетраэдра параллельно грани DCB, если длина ребра тетраэдра — 15 см.

Для решения этой задачи нужно знать, что правильный тетраэдр - это трехгранный полиэдр, у которого все четыре грани являются равными равносторонними треугольниками.

Для начала, давай разберемся, как выглядит параллельное сечение, которое строится через центр грани ADC правильного тетраэдра. Поскольку этот треугольник равносторонний и ABCD - правильный тетраэдр, то сечение будет также представлять собой равносторонний треугольник с вершинами в центрах соответствующих сторон треугольника ABCD.

Подсчитаем длину стороны треугольника ABCD. Треугольник ABC с вершинами в точках A, B и центре грани ABCD равносторонний, поэтому сторона AB равна стороне BC и стороне CA. Длина ребра тетраэдра равна 15 см, следовательно, AB = BC = CA = 15 см.

Теперь рассмотрим составляющие треугольника ADC. Вершина A - это центр грани ADC. От вершины A проведем медиану AM до стороны DC треугольника. Очевидно, что AM перпендикулярна к DC и делит ее пополам. Поэтому AD = DM = 7.5 см.

Поскольку треугольник ADC равнобедренный (AD = DC) и AD = DM = 7.5 см, то из прямоугольного треугольника ADM можем найти длину AM по теореме Пифагора. AM^2 = AD^2 - DM^2 = 15^2 - 7.5^2 = 187.5. Получаем AM = √187.5 ≈ 13.674 см.

Таким образом, мы нашли все стороны треугольника ADC, и теперь можем рассчитать его площадь. Для этого обратимся к формуле площади равностороннего треугольника: S = (a^2 * √3) / 4, где a - длина стороны треугольника.

Запишем формулу и подставим значения:
S = (13.674^2 * √3) / 4 = (187.5 * √3) / 4 ≈ 81.773 см^2.

Таким образом, площадь сечения, которое построено через центр грани ADC параллельно грани DCB, составляет около 81.773 см^2.