Радиусы вневписынных окружностей прямоугольного треугольника равны 5 и 20см. найти площадь этого треугольника

Ну, Вас не плохо готовят.

Пусть p = (a + b + c)/2; - ПОЛУпериметр, r - радиус вписанной окружности, r1 = 5, r2 = 20, r3 -  радиусы вневписанных окружностей.

Аналогично формуле S = r*p очень легко доказать формулы

S = r1*(p - a) = r2*(p - b) = r3*(p - c);   

{могу и показать, как это получается, только без рисунка :) 

(достаточно доказать одно соотношение - остальные получаются заменой обозначений).

Пусть окружность с центром О касается стороны а, противолежащей углу А, и продолжений сторон b и с. Тогда  площадь треугольника АВС равна сумме площадей треугольников ABO и  ACO минус площадь треугольника BCO, у всех этих треугольников высоты равны r1

Sabc = Sabo + Saco - Scbo = (c*r1)/2 + (b*r1)/2 - (a*r1)/2 = r1*(b + c - a)/2 = r1*(p - a)} 

Отсюда S/(p-a) = r1; S/(p-b) = r2; S/(p-c) = r3;

Если это все перемножить, то

r1*r2*r3 = S^3/((p-a)*(p-b)*(p-c)) = S^3*p/(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)) = S^3*p/S^2

(была использована формула Герона для площади треугольника)

r1*r2*r3 = S*p;

Теперь надо вспомнить, что треугольник прямоугольный (до этого прямоугольность нигде не использовалась). 

В этом случае радиус r3 окружности, касающейся гипотенузы и продолжений катетов, просто равен p. Доказать это можно кучей к примеру, так

поскольку p - c = (a + b +c)/2 - c = (a + b - c)/2 = r, а r3*(p - c) = S, то r3*r = S, откуда r3 = p;

Итак, S = r1*r2 = 100 кв.см.

Я считал, что r1= 5 и r2 = 20 - радиусы вневписанных окружностей, касающихся катета и продолжений другого катета и гипотенузы. Если это не так, задача на много сложнее.