Радиус описанной около треугольника abc окружности равен 2, а биссектриса bd делит сторону ac на отрезки ad= 3. dc=1. найдите длину стороны bc

Так как сумма отрезков стороны АС равна 3 + 1 = 4, то она равна двум радиусам, то есть это диаметр описанной около треугольника ABC окружности, а сам  треугольник - прямоугольный.
Свойство биссектрисы - она делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон. Поэтому АВ/ВС = 3/1.
Примем коэффициент пропорциональности за к. Тогда по свойству прямоугольного треугольника 4² = (3к)²+к², или 16 = 10к²   к = √(16/10) = = 4 / √10 = 4 /  3,162278 =  1,264911 - это и есть длина стороны ВС.