Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник ABCDEF , равен 1 . Найди площадь S треугольника, вершинами которого являются точки A , C и E . В ответ укажи S/

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся некоторые сведения о правильных шестиугольниках и окружностях.

Правильный шестиугольник - это шестиугольник, у которого все стороны и все углы равны.

Окружность, вписанная в правильный шестиугольник, касается всех его сторон.

Теперь перейдем к решению задачи.

Мы знаем, что радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник ABCDEF, равен 1. Обозначим центр этой окружности как O.

Для удобства, введем дополнительные обозначения:
Пусть M - середина стороны AB.
Пусть N - точка касания окружности со стороной AB.
Пусть x - длина отрезка AM.

Так как радиус вписанной окружности равен 1, то NM - радиус окружности. То есть, NM = 1.

Заметим, что треугольник MOA - прямоугольный, так как сторона AO - радиус окружности, а AM - половина стороны AB. Поэтому, мы можем применить теорему Пифагора для этого треугольника: MO^2 + OA^2 = MA^2.

MO = NM + NO = 1 + 1 = 2 (так как NM = 1 и NO = 1).
OA = 1 (так как OA - радиус окружности).
MA = x (так как AM = x).

Подставим эти значения в теорему Пифагора: 2^2 + 1^2 = x^2.
4 + 1 = x^2.
5 = x^2.
x = sqrt(5) (извлекаем квадратный корень из обеих частей).

Теперь у нас есть значение длины отрезка AM, которое равно sqrt(5).

Так как треугольник ACE - правильный (поскольку ABCDEF - правильный шестиугольник), его площадь можно выразить через формулу: S = (sqrt(3)/4) * a^2, где a - длина стороны треугольника.

В нашем случае, сторона треугольника ACE равна длине отрезка AM, то есть sqrt(5).

Подставим это значение в формулу площади: S = (sqrt(3)/4) * (sqrt(5))^2.
S = (sqrt(3)/4) * 5.

Мы получили выражение площади треугольника, но нам нужно дать ответ в виде S/√3. Чтобы привести ответ к данному виду, умножим и разделим его на √3: S = (sqrt(3)/4) * 5 * (√3 / √3).

Теперь у нас есть: S = (5 * sqrt(3)) / 4√3.

Мы можем упростить это выражение: S = (5 * sqrt(3)) / (4 * sqrt(3)).
S = 5/4.

Таким образом, мы получили ответ: S/√3 = 5/4.