R и r — радиусы описанного и вписанного в правильный треугольник кругов. Какой знак следует поставить вместо *: R * 2r?

Окружность, вписанная в правильный треугольник

Окружность, вписанная в правильный треугольник, помимо свойств вписанной в произвольный треугольник окружности, обладает своими собственными свойствами.

1) Центр вписанной в треугольник окружности — точка пересечения его биссектрис.

Поскольку в равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы и высоты совпадают, то центр вписанной в правильный треугольник окружности является точкой пересечения не только его биссектрис, но также медиан и высот.

okruzhnost-vpisannaya-v-pravilnyj-treugolnikНапример, в правильном треугольнике ABC AB=BC=AC=a

точка O — центр вписанной окружности.

AK, BF и CD — биссектрисы, медианы и высоты треугольника ABC.

   \[AK \cap BF = O,\]

   \[AK \cap CD = O.\]

2) Расстояние от центра вписанной окружности до точки касания её со стороной треугольника равно радиусу. Так как центр вписанной в правильный треугольник окружности лежит на пересечении его медиан, а медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности равен одной третьей длины медианы:

   \[OF = \frac{1}{3}BF,\]

   \[r = \frac{1}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\]

Таким образом, формула для радиуса вписанной в правильный треугольник окружности

   \[r = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\]

Обратно, сторона равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

Объяснение: