Прямые ма и mb касаются окружности с центром о в точках а и в. точка с симметрична точке о относительно точки в. докажите, что ∠amc = 3∠bmc.

Рассмотрим окружность с центром в точке О. ОА и ОВ - радиусы окружности, поэтому OA=OB. По теореме о касательных (две пересекающиеся касательные равны) эти треугольники равны по углу (угол радиуса к касательной всегда прямой по свойству касательной) и прилежащим к ней сторонам, а отсюда следует, что углы АМО и ОМВ равны (только они как-бы в зеркальном оторбражении). (1)

Кроме того, по правилу зеркальной симметрии, OB = BC, а также углы BMC и OMB равны. (2)

Следует отметить, что угол AMC содержит все три угла.

Из (1) и (2) следует, что углы АМО, BMC и ОМВ равны, а значит, если считать один их этих углов равным одной части, то весь угол AMC равен трём частям.

Иными словами, AMC = 3BMC, что и требовалось доказать.