Прямая параллельная основаниям трапе- ции, делит её боковые стороны в отноше- нии 2 : 3, считая от меньшего основания. Найдите длину отрезка этой прямой внутри трапеции, если длины её оснований равны 5 и 8. Прямая, параллельная одной стороне тре- угольника, делит его медиану, проведён- ную к другой стороне, в отношении 5 : 2 от вершины. В каком отношении эта прямая делит третью сторону треугольника?

Чтобы решить эту задачу, нам потребуются некоторые знания о свойствах трапеции и треугольника.

Давайте начнем с первого вопроса: "Прямая параллельная основаниям трапе- ции, делит её боковые стороны в отноше- нии 2 : 3, считая от меньшего основания. Найдите длину отрезка этой прямой внутри трапеции, если длины её оснований равны 5 и 8".

У нас есть трапеция с основаниями в 5 и 8 единиц длины. Пусть прямая, которая делит боковые стороны трапеции, имеет отношение деления 2:3, считая от меньшего основания. Обозначим длину отрезка этой прямой внутри трапеции как x.

Мы знаем, что когда прямая параллельна боковым сторонам трапеции, она делит их в одинаковых отношениях. То есть, если первая боковая сторона делится на отрезки длины a и b, то вторая боковая сторона будет делиться на отрезки длины (2a):(2b) или, другими словами, в отношении a:b.

В нашем случае, если отношение деления первой стороны трапеции составляет 2:3, то отношение деления второй стороны будет 2х:3х.

Теперь, чтобы решить задачу, мы можем составить уравнение на основе свойства трапеции. По основанию, классическая формула для площади трапеции гласит: S = ((a + b) * h) / 2, где a и b - длины оснований, а h - высота трапеции.

В нашем случае, длины оснований равны 5 и 8, поэтому a = 5 и b = 8. Нам нужно найти высоту трапеции, чтобы найти площадь. Но заметим, что одна из сторон трапеции является отрезком, который мы ищем. То есть, h = x.

Подставим все известные значения в формулу площади и решим ее относительно x:

S = ((5 + 8) * x) / 2
S = (13x) / 2.

Теперь у нас есть выражение для площади в терминах x. Но, у нас нет доступа к значению площади. Вместо этого, мы можем использовать другое свойство трапеции: сумма длин оснований умноженная на высоту делится пополам и равна площади трапеции.

Сумма длин оснований равна a + b = 5 + 8 = 13.

Теперь мы можем записать уравнение:

(13x) / 2 = ((5 + 8) * x) / 2.

Мы можем сократить на 2 и получить:

13x = (13 * x).

Так как две части уравнения равны друг другу, мы можем сократить на обе стороны на 13 и получить x = 5.

Таким образом, длина отрезка прямой внутри трапеции равна 5.

Теперь перейдем ко второму вопросу: "Прямая, параллельная одной стороне тре- угольника, делит его медиану, проведён- ную к другой стороне, в отношении 5 : 2 от вершины. В каком отношении эта прямая делит третью сторону треугольника?".

У нас есть треугольник и прямая, которая параллельна одной из его сторон. Эта прямая делит медиану, проведенную к другой стороне, в отношении 5:2 от вершины.

Пусть треугольник имеет стороны a, b и c. Пусть прямая делит медиану, проведенную к стороне a, в отношении 5:2 от вершины.

Обозначим длину медианы как m. Тогда прямая делит медиану в отношении 5:2, что означает, что x/x+5 = 2/5. Кроме того, x+5 = m, так как отрезок m делится прямой на части x и x+5.

Чтобы решить это уравнение, мы можем умножить обе стороны на (x+5) и раскрыть скобки:

2(x+5) = 5x,
2x + 10 = 5x,
10 = 3x,
x = 10/3.

Таким образом, прямая делит третью сторону треугольника в отношении 10:3 от вершины.