Прямая делит одну сторону треугольника пополам, а другую — в отношении 2 ∶ 1, считая от их общей вершины. В каком отношении эта прямая делит
площадь треугольника?

Для решения этой задачи нам потребуется знать некоторые основные свойства треугольников.

Для начала, давайте рассмотрим треугольник ABC, где AB - сторона, которую прямая делит пополам, AC - сторона, которую прямая делит в отношении 2:1, а точка пересечения прямой и стороны AB обозначим как D.

Теперь важно заметить, что прямая, которая делит сторону AB пополам, создает два равных отрезка AD и DB. Также, по условию, прямая делит сторону AC в отношении 2:1, что значит, что отрезок AD в два раза короче, чем отрезок DC.

Теперь мы можем продолжить разбирать задачу. Воспользуемся следующим свойством треугольников: площадь двух треугольников, имеющих общую высоту, пропорциональна длинам их оснований.

Обозначим площадь всего треугольника ABC как S, площади треугольников ABD и BCD обозначим как S1 и S2 соответственно.

Так как прямая делит сторону AB пополам, отрезки AD и DB равны и имеют одну и ту же высоту (высота, проведенная из вершины C перпендикулярно основанию AB). Поэтому площади треугольников ABD и BCD равны. Обозначим их как S1.

Теперь давайте рассмотрим отношение площадей треугольников ABD и ABC. Здесь нам поможет свойство треугольников, которое говорит, что площади двух треугольников, имеющих общую высоту, пропорциональны длинам их оснований.

Поэтому:

S1/S = AD/AB

Так как отрезок AD в два раза короче, чем отрезок DC, мы можем выразить AD через DC:

AD = DC/3 (потому что отношение AC:DC равно 2:1)

Теперь мы можем подставить это выражение в предыдущую формулу:

S1/S = (DC/3) / AB

Мы также знаем, что прямая делит сторону AC в отношении 2:1, поэтому:

AD/DC = 1/2

То есть:

AD = DC/2

Подставим это в формулу:

S1/S = (DC/2) / AB

Теперь давайте рассмотрим отношение площадей треугольников BCD и ABC. Здесь нам снова поможет свойство треугольников о пропорциональности площадей их оснований:

S2/S = (AB - DC/2) / AB

Теперь у нас есть отношения площадей S1/S и S2/S, выраженные через известные длины сторон ABC.

Таким образом, площадь всего треугольника делится пропорционально отношению S1/S : S2/S. Подставим наши выражения:

S/S = (DC/2) / AB : (AB - DC/2) / AB

Теперь давайте рассчитаем это отношение:

S/S = (DC/2) / AB * AB / (AB - DC/2)

S/S = DC / 2 * AB / (AB - DC/2)

S/S = DC * AB / (2 * (AB - DC/2))

Таким образом, отношение площади треугольника ABC с отношением деления сторон прямой 2:1 и 1:1 равно DC * AB / (2 * (AB - DC/2)).

Теперь мы можем рассматривать это выражение и подставить в него значения изначальной задачи, чтобы получить окончательный ответ.