Противоположные стороны четырёхуголь­ника равны. Докажите, что прямая, про­ходящая через середины его диагоналей, образует с этими сторонами равные углы.

Условие

В выпуклом четырёхугольнике, не являющемся параллелограммом, две противоположные стороны равны.

Докажите, что прямая, проходящая через середины его диагоналей, образует равные углы с этими сторонами.

Решение

 Пусть M и N – середины диагоналей соответственно AC и BD выпуклого четырёхугольника ABCD, в котором  AB = CD.  Если K – середина стороны BC, то KM – средняя линия треугольника ABC, а KN – средняя линия треугольника BCD. Поэтому  KM || AB,  KM = ½ AB,  KN || CD,  KN = ½ CD = ½ AB = KM.

 Значит, треугольник KMN – равнобедренный. Пусть прямая MN пересекает стороны AB и CD соответственно в точках P и Q. Тогда

∠BPM = ∠KMN = ∠KNM = ∠CQN.  Что и требовалось доказать.

Объяснение: