При каком положительном n векторы (2n+2;1;2) и (n;0;-2) перпендикулярны?

Чтобы определить, при каком положительном n векторы (2n+2;1;2) и (n;0;-2) будут перпендикулярными, нужно воспользоваться свойством перпендикулярности векторов, которое утверждает, что два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Скалярное произведение двух векторов a = (a1, a2, a3) и b = (b1, b2, b3) вычисляется по формуле: a*b = a1*b1 + a2*b2 + a3*b3.

Применим эту формулу к нашим векторам:
(2n+2;1;2)*(n;0;-2) = (2n+2)*n + 1*0 + 2*(-2) = 2n^2 + 4n - 4.

Итак, чтобы эти два вектора были перпендикулярными, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение было равно нулю:
2n^2 + 4n - 4 = 0.

Чтобы решить это квадратное уравнение, можно воспользоваться формулой дискриминанта.
Дискриминант D квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 вычисляется по формуле: D = b^2 - 4ac.

Применим эту формулу к нашему уравнению:
D = 4^2 - 4*2*(-4) = 16 + 32 = 48.

Если дискриминант положителен (D > 0), то уравнение имеет два различных корня. Если же дискриминант равен нулю (D = 0), то уравнение имеет один корень. Если дискриминант отрицателен (D < 0), то уравнение не имеет действительных корней.

В нашем случае дискриминант равен 48, что означает, что уравнение имеет два различных корня. Решим уравнение, чтобы найти эти корни.

Используя формулу для вычисления корней квадратного уравнения, получаем:
n1 = (-4 + √48) / (2*2) = (-4 + 4√3) / 4 = -1 + √3,
n2 = (-4 - √48) / (2*2) = (-4 - 4√3) / 4 = -1 - √3.

Таким образом, при положительных значениях n1 = -1 + √3 и n2 = -1 - √3 векторы (2n+2;1;2) и (n;0;-2) будут перпендикулярными.

Обоснование:
Мы использовали свойство перпендикулярности векторов, которое гласит, что два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Мы также воспользовались формулами для вычисления скалярного произведения и дискриминанта, а затем решили полученное квадратное уравнение. Результатом решения были найдены значения n1 и n2, при которых векторы перпендикулярны.