по начертательной геометрии 1) Через точку A провести вправо отрезок горизонтали длиной
30 мм под углом 30° к плоскости π2 A (40; 30; –10)
2) Через точку A провести отрезок фронтали длиной 40 мм, вос-
ходящий влево под углом 60° к плоскости π1: А (10; 15; 10);
3) Через точку A провести отрезок профильной прямой длиной
40 мм,восходящий под углом 30° к плоскости π2: 1) A (20; 40; 10);
4) Определить натуральную величину отрезка AB и угол φ накло-
на его к плоскости π1: 1) A (60; 40; 30), B (20; 10; 5);
5) Определить натуральную величину отрезка AB и угол ψ накло-
на его к плоскости π2: A (60; 30; 0), B (20; 5; 20);
6) Даны горизонтальная проекция отрезка AB, фронтальная про-
екция точки A и угол наклона отрезка к плоскости π1
, равный 30°. По-
строить фронтальную проекцию отрезка: A (50; 15; 10), B (15; 25; ?)
7) Построить следы прямой AB и определить, через какие чет-
верти пространства проходит прямая:
1) A (50; 10; 35), B (20; 40; 10);
4) A (50; 40; –10), B (15; 10; –35);
5) A (15; 15; 40), B (15; 15; 10);
7) A (50; 15; 30), B (15; 15; 0);
9) A (15; 25; 35), B (15; 15; 10)
8) На прямой AB найти точки C и D, удаленные на 10 мм от пло-
скости π1 : A (45; 20; 0), B (10; 10; 30).
9) На прямой AB найти точку C, равноудаленную от плоскостей
проекций π1 и π2: 1) A (40; 5; 15), B (10; 30; 15); 2) A (40; 15; 5), B (10;
25; 35); 3) A (10; 5; 30), B (10; 20; 5).

1) Чтобы провести отрезок горизонтали длиной 30 мм под углом 30° к плоскости π2 через точку A (40; 30; –10), нужно выполнить следующие шаги:

a) Найти координаты конечной точки отрезка. Известно, что длина отрезка равна 30 мм, значит, координата X конечной точки будет равна X(A) + 30. Координаты Y и Z точки B будут равны Y(A) и Z(A), так как отрезок проводится горизонтально.

Таким образом, координаты точки B (конечной точки отрезка) будут следующими: B(X; Y; Z) = (40 + 30; 30; –10) = (70; 30; –10).

b) Найти горизонтальную проекцию отрезка. Горизонтальная проекция отрезка представляет собой горизонтальную прямую, проходящую через точки A и B.

Таким образом, горизонтальная проекция отрезка будет представлена следующим образом: отрезок AB.

2) Чтобы провести отрезок фронтали длиной 40 мм, восходящий влево под углом 60° к плоскости π1 через точку A (10; 15; 10), нужно выполнить следующие шаги:

a) Найти координаты конечной точки отрезка. Известно, что длина отрезка равна 40 мм, значит, координата Y конечной точки будет равна Y(A) + 40. Координаты X и Z точки B будут равны X(A) и Z(A), так как отрезок проводится фронтально.

Таким образом, координаты точки B (конечной точки отрезка) будут следующими: B(X; Y; Z) = (10; 15 + 40; 10) = (10; 55; 10).

b) Найти фронтальную проекцию отрезка. Фронтальная проекция отрезка представляет собой вертикальную прямую, проходящую через точки A и B.

Таким образом, фронтальная проекция отрезка будет представлена следующим образом: отрезок AB.

3) Чтобы провести отрезок профильной прямой длиной 40 мм, восходящий под углом 30° к плоскости π2 через точку A (20; 40; 10), нужно выполнить следующие шаги:

a) Найти координаты конечной точки отрезка. Известно, что длина отрезка равна 40 мм, значит, координаты Z и Y конечной точки будут равны Z(A) + 40*sin(30°) и Y(A) + 40*cos(30°). Координата X точки B будет равна X(A), так как отрезок проводится профильно.

Таким образом, координаты точки B (конечной точки отрезка) будут следующими: B(X; Y; Z) = (20; 40*cos(30°); 10 + 40*sin(30°)).

b) Найти профильную проекцию отрезка. Профильная проекция отрезка представляет собой наклонную прямую, проходящую через точки A и B.

Таким образом, профильная проекция отрезка будет представлена следующим образом: отрезок AB.

4) Чтобы определить натуральную величину отрезка AB и угол φ наклона его к плоскости π1 через точки A (60; 40; 30) и B (20; 10; 5), нужно выполнить следующие шаги:

a) Найти натуральную величину отрезка AB. Натуральная величина отрезка AB определяется по формуле:
AB = √((X(B) - X(A))^2 + (Y(B) - Y(A))^2 + (Z(B) - Z(A))^2)

AB = √((20 - 60)^2 + (10 - 40)^2 + (5 - 30)^2) = √((-40)^2 + (-30)^2 + (-25)^2) = √(1600 + 900 + 625) = √3125 = 55.9 мм.

b) Найти угол φ наклона отрезка AB к плоскости π1. Угол наклона определяется как угол между наклонной проекцией отрезка AB и плоскостью π1.

Таким образом, угол φ будет найден из формулы:
φ = arctan((Z(B) - Z(A)) / √((X(B) - X(A))^2 + (Y(B) - Y(A))^2))

φ = arctan((5 - 30) / √((20 - 60)^2 + (10 - 40)^2)) = arctan((-25) / √((-40)^2 + (-30)^2)) = arctan((-25) / √(1600 + 900)) = arctan((-25) / √2500) = arctan((-25) / 50) = arctan(-0.5) = -26.57°.

5) Чтобы определить натуральную величину отрезка AB и угол ψ наклона его к плоскости π2 через точки A (60; 30; 0) и B (20; 5; 20), нужно выполнить следующие шаги:

a) Найти натуральную величину отрезка AB. Натуральная величина отрезка AB определяется по формуле:
AB = √((X(B) - X(A))^2 + (Y(B) - Y(A))^2 + (Z(B) - Z(A))^2)

AB = √((20 - 60)^2 + (5 - 30)^2 + (20 - 0)^2) = √((-40)^2 + (-25)^2 + 20^2) = √(1600 + 625 + 400) = √2625 = 51.24 мм.

b) Найти угол ψ наклона отрезка AB к плоскости π2. Угол наклона определяется как угол между наклонной проекцией отрезка AB и плоскостью π2.

Таким образом, угол ψ будет найден из формулы:
ψ = arctan((Y(B) - Y(A)) / √((X(B) - X(A))^2 + (Z(B) - Z(A))^2))

ψ = arctan((5 - 30) / √((20 - 60)^2 + (20 - 0)^2)) = arctan((-25) / √((-40)^2 + 20^2)) = arctan((-25) / √(1600 + 400)) = arctan((-25) / √2000) = arctan((-25) / 44.72) ≈ -30.96°.

6) Дано: горизонтальная проекция отрезка AB, фронтальная проекция точки A и угол наклона отрезка к плоскости π1, равный 30°. В точке A (50; 15; 10) угол наклона отрезка AB к плоскости π1 равен 30°.
Нужно построить фронтальную проекцию отрезка с известными данными.

a) Из фронтальной проекции точки A (15) строим перпендикуляр, соответствующий фронтальной проекции отрезка AB.

b) На полученном перпендикуляре отмечаем точку H (15; 15; 10), соответствующую точке A (50; 15; 10).

c) Из точки H проводим отрезок длиной равной натуральной величине отрезка AB, который составляет 15/√3.

d) На полученном отрезке отмечаем точку B (15; 15 + 15/√3; 10) соответствующую точке B (15; 25; ?).

e) Полученная точка B является фронтальной проекцией отрезка AB (отрезок AH).

7) Для каждого из заданных случаев нужно построить следы прямой AB и определить, через какие четверти пространства проходит прямая:

a) Для точек A (50; 10; 35) и B (20; 40; 10):

- Горизонтальная проекция отрезка AB: отрезок AB.
- Фронтальная проекция отрезка AB: отрезок AB.
- Профильная проекция отрезка AB: отрезок AB.

По результатам построения следов прямой AB видно, что она проходит через 1-ю и 2-ю четверти пространства.

d) Для точек A (50; 40; -10) и B (15; 10; -35):

- Горизонтальная проекция отрезка AB: отрезок AB.
- Фронтальная проекция отрезка AB: отрезок AB.
- Профильная проекция отрезка AB: отрезок AB.

По результатам построения следов прямой AB видно, что она проходит через 2-ю и 4-ю четверти пространства.

e) Для точек A (15; 15; 40) и B (15; 15; 10):

- Горизонтальная проекция отрезка AB: точка A (15; 15).
- Фронтальная проекция отрезка AB: точка B (15; 15).
- Профильная проекция отрезка AB: отрезок AB.

По результатам построения следов прямой AB видно, что она проходит через все четверти пространства.

7) На прямой AB нужно найти точки C и D, удаленные на 10 мм от плоскости π1, где точка A (45; 20; 0), точка B (10; 10; 30).

a) Найдем уравнение плоскости π1:
A1x + B1y + C1z + D1 = 0

Так как точка A лежит в плоскости π1, то уравнение плоскости будет иметь вид:

45A1 + 20B1 + 0C1 + D1 = 0

b) Неизвестные коэффициенты A1, B1, C1 и D1 можно найти, зная, что точка B лежит на плоскости π1. Подставим координаты точки B в уравнение плоскости:

10A1 + 10B1 + 30C1 + D1 = 0

c) Из системы уравнений можно найти коэффициенты A1, B1, C1 и D1:

A1 = -4
B1 = 4
C1 = -1
D1 = -250

d) Теперь можем найти точку C, которая находится на прямой AB и удалена от плоскости π1 на 10 мм. Для этого подставляем координаты точки C в уравнение плоскости:

-4x + 4y - z - 250 = 0

-4x + 4y - z - 250 = -4