Плоскости квадратов ABCD и ABC1D1 перпендикулярны AB = a. Найдите расстояние C1D1

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать свойства перпендикулярных плоскостей и знания о квадратах.

Для начала введем некоторые обозначения:
- Вершины квадрата ABCD обозначим как A, B, C и D.
- Вершины квадрата ABC1D1 обозначим как A, B, C1 и D1.
- Расстояние между плоскостями будем обозначать как h.
- Длина стороны квадрата ABCD обозначим как a.

Так как плоскости квадратов перпендикулярны, то стороны квадратов ABCD и ABC1D1 будут параллельны. Это значит, что отрезок CD и отрезок C1D1 также будут параллельны.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике C1CD1. В этом треугольнике известны гипотенуза CD (она равна a) и одна из катетов CD1 (она равна h). Искомым является второй катет C1D1.

Применим теорему Пифагора:
C1D1^2 = CD^2 - CD1^2

Так как CD = a, то
C1D1^2 = a^2 - CD1^2

Нам нужно найти C1D1, поэтому извлечем квадратный корень из обеих частей:
C1D1 = √(a^2 - CD1^2)

Осталось найти значение CD1. Заметим, что треугольник ACD1 является прямоугольным, так как одна из его сторон является хордой окружности (отрезок AC1), а другая сторона содержит радиус окружности (отрезок AD1). В таком треугольнике длина катета (отрезка AD1) будет равна половине длины гипотенузы (отрезка AC1). Из свойств квадрата ABC1D1 мы знаем, что длина отрезка AC1 равна a, поэтому:
CD1 = AC1 / 2 = a / 2

Подставим это значение в формулу для C1D1:
C1D1 = √(a^2 - (a/2)^2)

Раскроем скобки:
C1D1 = √(a^2 - a^2/4)

Упростим выражение:
C1D1 = √(4a^2/4 - a^2/4)
C1D1 = √(3a^2/4)
C1D1 = (√3a)/2

Таким образом, расстояние C1D1 равно (√3a)/2.