Плоскость α параллельна оси Оz,пересекает плоскость Оху по прямой а. Прямая а в плоскости Оху имеет уравнение у = 6√2 - х. Пересечет ли плоскость α сферу x^2 + y^2 + z^2 = 100? В случае пересечения найдите длину этой линии .

Добрый день! Давайте разберем задачу пошагово.

Первое, что нужно сделать, это найти уравнение плоскости α. Мы знаем, что плоскость α параллельна оси Оz и пересекает плоскость Оху по прямой а.

У нас есть уравнение прямой а в плоскости Оху: у = 6√2 - х.
Поскольку плоскость α параллельна оси Оz, то ее уравнение будет иметь вид z = с, где с - это константа.

Теперь мы можем записать систему уравнений для плоскости α и прямой а:
у = 6√2 - х,
z = с.

Чтобы узнать значение с константы, подставим уравнения прямой а в уравнение плоскости α. Мы получим:
6√2 - х = 6√2 - х,
z = с.

Это значит, что уравнение плоскости α не зависит от х и у и является просто z = с. Значит, плоскость α является горизонтальной плоскостью, проходящей через ось Оz.

Теперь перейдем ко второй части вопроса: пересекает ли плоскость α сферу x^2 + y^2 + z^2 = 100?

Для того чтобы узнать, пересекает ли плоскость α сферу, нам нужно подставить уравнение плоскости α в уравнение сферы и решить полученное уравнение на пересечение. То есть, мы должны найти значения х, у и z, которые удовлетворяют условию как уравнение плоскости α, так и уравнение сферы.

Подставим z = с в уравнение сферы: x^2 + y^2 + (с)^2 = 100.

После раскрытия скобок, мы получим уравнение: x^2 + y^2 + с^2 = 100.

Это уравнение представляет собой уравнение окружности в плоскости Оху с центром в начале координат и радиусом 10 (так как сфера имеет радиус 10).

Если с^2 > 100, то плоскость α не пересекает сферу, так как окружность находится выше или ниже плоскости α.

Если с^2 = 100, то плоскость α касается сферы, так как окружность касается сферы.

Если с^2 < 100, то плоскость α пересекает сферу, так как окружность пересекается с сферой в двух точках.

Итак, чтобы определить, пересекает ли плоскость α сферу или нет, нужно сравнить значение с^2 с 100.

Если пересечение есть, то нам нужно найти длину этой линии пересечения. Для этого можно применить формулу длины окружности: L = 2πR.

В данном случае радиус R равен 10, поскольку это радиус сферы.

Таким образом, если плоскость α пересекает сферу, длина этой линии пересечения составит 2π * 10 = 20π (единицы измерения длины).

Надеюсь, что ответ был понятен. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!