Плоскость квадрата ABCD и равнобедренного треугольника DCM (∠C=90°) взаимноперпендикулярны. Найдите площадь треугольника ADM,если площадь квадрата ABCD равна 144 см квадратных.

Добрый день! Рассмотрим данный вопрос пошагово.

1. Данное изображение представляет собой плоскость, на которой изображен квадрат ABCD и равнобедренный треугольник DCM, где ∠C = 90°. Задача состоит в нахождении площади треугольника ADM при известной площади квадрата ABCD, равной 144 квадратных см.

2. Из условия задачи мы знаем, что плоскость квадрата ABCD и треугольника DCM взаимноперпендикулярны. Это значит, что сторона квадрата AB параллельна и перпендикулярна стороне MC, а сторона BC перпендикулярна и параллельна стороне MD.

3. Также известно, что площадь квадрата ABCD равна 144 квадратных см. Площадь квадрата вычисляется по формуле S = a^2, где а - длина стороны квадрата. Подставляя известные значения, получаем 144 = a^2. Решаем уравнение, извлекая квадратный корень, и находим, что сторона квадрата ABCD равна a = √144 = 12 см.

4. Так как треугольник DCM - равнобедренный и прямоугольный, то гипотенуза DM равна BC = 12 см.

5. По свойству равнобедренного треугольника, высота, проведенная из вершины, делит основание на две равные части. Таким образом, отрезки DM и MC равны по длине, то есть DM = MC = 6 см.

6. Теперь мы можем нарисовать прямую AM и обозначить точку пересечения с прямой CD - точку P.

7. Так как AM и CD перпендикулярны, то треугольники PDM и PMC - прямоугольные, и их гипотенузы равны DP и MP соответственно.

8. DP = MC = 6 см, так как DM = MC равны по условию задачи.

9. Пусть х - длина отрезка PM. Тогда MP = DM + x.

10. По теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике DPM с гипотенузой DP и катетами DM и MP, выполняется соотношение DP^2 = DM^2 + MP^2. Подставляем известные значения и решаем уравнение:

6^2 = 6^2 + (6 + x)^2,

36 = 36 + (6 + x)^2,

0 = (6 + x)^2.

Отсюда получаем, что 6 + x = 0, x = -6.

11. Поскольку длина не может быть отрицательной, мы отвергаем решение x = -6.

12. Итак, длина PM равна x = 0. Таким образом, точка M - это точка пересечения AM и CD, которая является серединой стороны CD. АСД - это прямая равнобедренного треугольника, поэтому точка M - это середина гипотенузы DM, и DM = 2 * PM = 2 * 0 = 0 см.

13. Таким образом, площадь треугольника ADM равна половине произведения его основания и высоты. Подставляем известные значения:

S[ADM] = 0.5 * DM * AM = 0.5 * 0 * AM = 0.

Полученный результат означает, что площадь треугольника ADM равна нулю.