Площадь равносторонней трапеции равна 126 см^2 , а ее диагонали перпендикулярны. найдите среднюю линию.

Подробно. 

Обозначим трапецию АВСD. BC║AD,  AB=CD.

Проведем из вершины С прямую, параллельную ВD, до пересечения с продолжением АD  в точке К. 

Противоположные стороны четырехугольника АСКD лежат на параллельных прямых, поэтому параллельны. АВСD –  параллелограмм и  DK=BC => 

АК=АD+BC. 

По условию АС⊥ВD, поэтому угол АСК равен соответственному ему углу АОD.

∠АСК=90°. 

Диагонали равнобедренной трапеции равны. 

Треугольник АСК - прямоугольный равнобедренный. .

Высота равнобедренного треугольника  в нем  и медиана и равна половине гипотенузы: 

СН=АК:2. 

Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму оснований ( на среднюю линию)

126=CH•(BC+AD):2

Из найденного выше (BC+AD):2=CH, то 

126=CH²=>

CH=√126=3√14 см

Из найденного выше средняя линия равнобедренной трапеции с взаимно перпендикулярными диагоналями равна её высоте. 

ответ:3√14 см

Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, высота трапеции равна полусумме оснований.  S=1/2(a+b)*h=126cm^2, (a+b):2=√126=3√14

Полусумма оснований - это и есть средняя линия, т.к  средняя линия равна высоте в нашем случае, то можно сказать, что площадь равна средней линии в квадрате. У нас площадь дана, тогда средняя линия равна корню из этой площади. 
 Так понятнее?