1. Геометрия
  2. Площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника треугольника равна 1, а радиус описанной около него окружности равен корень 5/2. Найдите косинус острого угла между медианами данного треугольника, проведёнными к его катетам.

ОлимпМальчик321 ОлимпМальчик321    2   23.07.2021 11:59    0

Ответы
незнайка2901 незнайка2901  22.08.2021 13:43

cos\alpha =\frac{5\sqrt{34} }{34}

Объяснение:

Дано: Окр.OR-описанная

R=\frac{\sqrt{5} }{2}

ΔАВС - прямоугольный

S_{ABC}=1

ВК и СМ - медианы

Найти: cosα

1. Окр. OR - описана около ΔАВС ⇒СВ - диаметр (прямой угол опирается на диаметр)

CB=2R=2*\frac{\sqrt{5} }{2}=\sqrt{5}

2. Рассмотрим ΔАВС - прямоугольный.

Пусть меньший катет = a, больший - b.

Тогда:

Площадь треугольника:

S=\frac{1}{2}ab

По теореме Пифагора:

a^2+b^2=BC^2

Составим систему:

\left \{ {{\frac{1}{2}ab =1} \atop {a^2+b^2=5}} \right. \;\;\;\left \{ {{ab=2} \atop {a^+b^2=5}} \right.

a=\frac{2}{b}\\\frac{4}{b^2}+b^2=5\\4+b^4-5b^2 =0\\b^4-5b^2 +4 =0

По теореме Виета:

(b_1)^2=1\\(b_2)^2=4\\      

Или

\left \{ {{b=2} \atop {a=1}} \right. \;\;\;\left \{ {{b=1} \atop {a=2}} \right.

Тогда АС=1; АВ=2.

3. Рассмотрим ΔАВК - прямоугольный.

AB=2;\;\;\;AK=\frac{1}{2} (ВК-медиана)

По т. Пифагора

BK=\sqrt{4+\frac{1}{4} } =\frac{\sqrt{17} }{2}\\KP=\frac{1}{3}* \frac{\sqrt{17} }{2}=\frac{\sqrt{17} }{6} (св-во пересекающихся медиан)

4. Рассмотрим Δ МАС - прямоугольный.

AC=1;\;\;\;AM=1 (СМ-медиана)

По т. Пифагора

CM=\sqrt{2}

CP=\frac{2}{3}\sqrt{2} (св-во пересекающихся медиан)

5. Рассмотрим ΔКРС

KP=\frac{\sqrt{17} }{6};\;\;\;PC=\frac{2\sqrt{2} }{3};\;\;\;KC=\frac{1}{2}

Используем теорему косинусов:

a^2=b^2+c^2-2ab*cos\alpha

Имеем

KC^2=KP^2+PC^2-2*KP*PC*cos\alpha \\

\frac{1}{4}= \frac{17}{36}+\frac{8}{9}-2*\frac{\sqrt{17} }{6}*\frac{2\sqrt{2} }{3}*cos\alpha

cos\alpha =(\frac{17}{36}+\frac{32}{36}-\frac{9}{36}):\frac{2\sqrt{34} }{9}=\frac{40*9}{36*2\sqrt{34} } =\frac{5\sqrt{34} }{34}


Площадь прямоугольника треугольника равна 1, а радиус описанной около него окружности равен корень 5
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Геометрия
Kyivua777 Kyivua777  27.08.2019 17:20
Какое наибольшее число лучей может выходить из одной точки, чтобы все углы, образованные соседними лучами, былм тупыми?...
dashakoshelevap06xlg dashakoshelevap06xlg  27.08.2019 17:20
Сточки s к площади альфа проведено две уклонные sa и sb,и перпендикуляр so. уголаso= 45 градусов,угол bso=60 градусов,so=12 см,найти проекции уклонных на площадь...
guzelmuzepova guzelmuzepova  27.08.2019 17:20
Даны прямые a,b и d, причем a || b, с || d, c перпендикулярна a. определите взаимное расположение прямых b и d...
omy00god omy00god  21.05.2019 22:50
Втрапеции abcd с основаниями ad и bc диагонали пересекаются в точке к, вк: кд=2: 5. найдите площадь треугольника акд, если площадь треугольника вкс равна 8...
елена13333 елена13333  21.05.2019 22:50
1.два угла треугольника равны 50* и 60* . определить вид треугольника. 2.существует ли треугольник со сторонами 5, 6 и 7 см? ответ обоснуйте 3.существует ли треугольник...
Nialya2727 Nialya2727  21.05.2019 22:50
Докажите что площадь треугольника можно найти по формуле s=1/2absinальфа где альфа - острый угол между сторонами a и b...
Nita132 Nita132  21.05.2019 22:50
Впрямоугольном треугольнике abc угол а =55 градусов,угол с = 90градусов.найдите угол в...
betmurzaev2015 betmurzaev2015  21.05.2019 22:50
Диагональ ac паралерограмма abcd образует с его сторонами углы,равные 35 и 30 .найдите больший угол параллерограмма...
milana2709 milana2709  21.05.2019 22:50
Вравнобедренном треугольнике боковая сторона равна 13дм и основание равно 10см.найдите а)высоту этого треугольника ,проведеную к основаниютреугольника.б)площадь треугольника...
dfjjrrjsoodkljv dfjjrrjsoodkljv  21.05.2019 22:50
Высота цилиндра равна 10см, а радиус основания 1см. найти площадь осевого сечения....

Популярные вопросы