Площадь прямоугольника abcd равна 20. точка m, n, p, q - середины его сторон. найдите площадь четырехугольника, заключенного между прямыми an, bp, cq, dm.

Sавсд=20, стороны АВ=СД=а, ВС=АД=b
Полученный четырехугольник, площадь которого нам нужно найти, обозначим ЕНОТ (это точки пересечения указанных прямых).
Рассмотрим четырехугольник МВРД: стороны МВIIРД (противоположные стороны прямоугольника равны и параллельны) и МВ=РД (по условию это половины противолежащих сторон). Следовательно ВРIIМД и ВР=МД, а четырехугольник МВРД является параллелограммом.
Аналогично четырехугольник АNCQ - параллелограмм (по условию NCIIAQ, NC=AQ, значит ANIICQ, AN=CQ)
Получается, что и четырехугольник ЕНОТ - параллелограмм.
Найдем площадь параллелограмма Sмврд :
 Sмврд= Sавсд - 2Sамд=АВ*АД-2* (АМ*АД/2)=аb-(а/2*b)=ab/2 =Sавсд/2=20/2=10
Рассмотрим ΔАМД: его стороны пересекаются параллельными прямыми  AN и CQ, которые отсекают на стороне АД равные отрезки AQ=QД, а значит и на стороне МД - равные отрезки ЕТ=ТД (по теореме Фалеса)
Тоже самое и в ΔВСР: BN=NC, BH=HO, а также ВН=НО=ЕТ=ТД.
Рассмотрим ΔАВН: в нем МЕ||ВН, АМ=МВ, значит МЕ- средняя линия этого треугольника МЕ=ВН/2=ЕТ/2.
Сторона МД=МЕ+ЕТ+ТД=ЕТ/2+ЕТ+ЕТ=5ЕТ/2.
ЕТ=2МД/5
Площадь ЕНОТ равна Sенот=h*ЕТ=h*2МД/5.
Высота h четырехугольника ЕНОТ равна высоте четырехугольника МВРД. Исходя из Sмврд=h*МД, h=Sмврд/МД=10/МД.
Получается, Sенот=10/МД*2МД/5=4.
ответ:4