Площадь основания конуса равна 64. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 8 и 24, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.
6. Высота конуса равна 12, а длина образующей — 15. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.
7. Диаметр основания конуса равен 54, а длина образующей — 45. Найдите площадь осевого сечения этого
конуса.
8. Длина окружности основания конуса равна 3, образующая равна 8. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
9. Высота конуса равна 30, образующая равна 34. Найдите площадь его полной поверхности, деленную на .
10. Площадь полной поверхности конуса равна 192. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсеченного конуса.
11. Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. ответ дайте в градусах.
12. Радиус основания конуса равен 24, высота равна 45. Найдите площадь полной поверхности конуса, деленную на .
13. Объем конуса равен 144. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

1. Для нахождения площади сечения конуса данной плоскостью, нам нужно найти высоту сечения.

Обозначим высоту конуса как h и длину образующей как l. Также нам дано, что площадь основания равна 64. Так как плоскость параллельна плоскости основания, высота конуса делится на отрезки длиной 8 и 24.

Используя теорему Пифагора, мы можем найти высоту конуса по формуле:

h^2 = l^2 - r^2

Где r - радиус основания конуса. Поскольку площадь основания равна 64, мы можем найти радиус, используя формулу площади основания:

S = π * r^2

64 = π * r^2

r^2 = 64 / π

Теперь мы можем найти высоту конуса:

h^2 = l^2 - (64 / π)

h = √(l^2 - (64 / π))

В данной задаче нам дано l = 8 + 24 = 32, поэтому:

h = √((32)^2 - (64 / π))

2. Для нахождения площади осевого сечения конуса, нам нужно знать его высоту и длину образующей.

Площадь осевого сечения конуса можно найти по формуле:

S = π * r^2

Где r - радиус сечения конуса. В данной задаче нам даны высота h = 12 и длина образующей l = 15.

Мы можем найти радиус, используя теорему Пифагора:

r^2 = l^2 - h^2

r = √(l^2 - h^2)

После нахождения радиуса, мы можем найти площадь осевого сечения:

S = π * (r^2)

3. Для нахождения площади осевого сечения конуса, нам нужно знать диаметр основания и длину образующей.

Площадь осевого сечения конуса можно найти по формуле:

S = π * r^2

Где r - радиус основания сечения конуса. В данной задаче нам даны диаметр основания d = 54 и длина образующей l = 45.

Мы можем найти радиус, используя соотношение между радиусом и диаметром:

r = d / 2

После нахождения радиуса, мы можем найти площадь осевого сечения:

S = π * (r^2)

4. Для нахождения площади боковой поверхности конуса, нам нужно знать длину окружности основания и длину образующей.

Площадь боковой поверхности конуса можно найти по формуле:

S = π * r * l

Где r - радиус основания конуса и l - длина образующей. В данной задаче нам даны длина окружности основания C = 3 и длина образующей l = 8.

Мы можем найти радиус, используя формулу для длины окружности:

C = 2 * π * r

3 = 2 * π * r

r = 3 / (2 * π)

После нахождения радиуса, мы можем найти площадь боковой поверхности:

S = π * r * l

5. Для нахождения площади полной поверхности конуса, нужно знать высоту и длину образующей.

Площадь полной поверхности конуса можно найти по формуле:

S = π * r * (r + l)

Где r - радиус основания конуса и l - длина образующей. Для нахождения радиуса, можем использовать формулу:

r = h * l / √(h^2 + l^2)

Где h - высота конуса и l - длина образующей. В данной задаче нам дана высота h = 30 и длина образующей l = 34.

После нахождения радиуса, мы можем найти площадь полной поверхности:

S = π * r * (r + l)

6. Для нахождения площади полной поверхности отсеченного конуса, нужно знать площадь полной поверхности и высоту.

Площадь полной поверхности отсеченного конуса можно найти по формуле:

S' = S * (h' / h)

Где S - площадь полной поверхности и h' - высота отсеченного конуса. В данной задаче нам дана площадь полной поверхности S = 192 и высота h = 2h'.

Мы можем найти площадь полной поверхности отсеченного конуса, подставив известные значения в формулу:

S' = S * (1/2)

7. Для нахождения угла между образующей конуса и плоскостью основания, нам нужно знать площадь боковой поверхности и площадь основания.

Площадь боковой поверхности конуса можно найти по формуле:

S(бок) = π * r * l

Где r - радиус основания и l - длина образующей.

Площадь основания конуса можно найти по формуле:

S(основания) = π * r^2

Мы знаем, что площадь боковой поверхности в два раза больше площади основания:

S(бок) = 2 * S(основания)

Подставив соответствующие формулы и выразив r, можно найти угол между образующей и плоскостью основания с помощью тригонометрической функции арктангенс:

θ = arctan(2 * √(S(основания)) / l)

8. Для нахождения площади полной поверхности конуса, нужно знать радиус основания и высоту.

Площадь полной поверхности конуса можно найти по формуле:

S = π * r * (r + l)

Где r - радиус основания конуса и l - длина образующей.

Мы не имеем информации о высоте конуса, поэтому невозможно точно найти площадь полной поверхности.

9. Для нахождения объема меньшего конуса, через середину высоты проводится сечение, которое является основанием меньшего конуса.

Объем конуса можно найти по формуле:

V = (1/3) * π * r^2 * h

Где r - радиус основания конуса и h - высота конуса.

Площадь основания меньшего конуса будет равна половине площади основания большего конуса, поскольку она проходит через середину высоты.

Мы можем найти радиус меньшего конуса, используя соотношение объемов:

V' = (1/8) * V

V' = (1/8) * ((1/3) * π * r^2 * h)

Площадь стороны большего конуса не изменилась, поэтому площадь стороны меньшего конуса остается той же.