Площадь боковой грани правильной четырёхугольной пирамиды (основанием пирамиды является квадрат, а вершина пирамиды проецируется в центр этого квадрата) равна площади основания. Найдите косинус двугранного угла при основании пирамиды.

Для начала, давайте вспомним некоторые определения и свойства.

Правильная четырёхугольная пирамида - это пирамида, у которой основание является квадратом, а боковые грани являются равнобедренными треугольниками.

Боковая грань пирамиды - это плоскость, образованная боковым ребром пирамиды и двумя соседними ребрами основания.

Основание пирамиды - это квадрат, на котором пирамида стоит.

Теперь вернемся к вопросу. Нам дано, что площадь боковой грани равна площади основания. Обозначим сторону квадрата основания как "a", а сторону треугольника боковой грани как "b". Так как боковая грань равнобедренный треугольник, то его две боковые стороны равны между собой. Обозначим одну из этих сторон как "c".

Из геометрии правильной четырёхугольной пирамиды следует, что "b" - это половина диагонали квадрата основания, а "c" - это высота пирамиды.

Теперь рассмотрим правильный треугольник, образованный основанием пирамиды и двумя сторонами боковой грани. Из основания этого треугольника мы получим основание пирамиды, а из стороны боковой грани - высоту пирамиды.

Теперь мы можем перейти к вычислению косинуса двугранного угла при основании пирамиды. Косинус угла определяется отношением прилежащего катета к гипотенузе. В данном случае, прилежащий катет это "b", а гипотенуза это "c".

Поскольку "b" равно половине диагонали квадрата, можно найти его длину, используя теорему Пифагора. Пусть диагональ квадрата основания равна "d". Тогда, применяя теорему Пифагора к треугольнику со сторонами "a" (сторона квадрата), "b" и "d", получим:

d^2 = a^2 + b^2

Так как "b" равно половине диагонали "d", то это можно записать как:

(d/2)^2 = a^2 + (d/2)^2

d^2/4 = a^2 + d^2/4

d^2/4 - d^2/4 = a^2

d^2/4 = a^2

d^2 = 4a^2

d = 2a

Теперь мы знаем, что "b" равно половине диагонали, то есть "b" равно "a" (так как "d" равно "2a").

Таким образом, "b" = "a" и "c" = "a".

Теперь мы можем вычислить косинус угла при основании пирамиды. По определению, косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. В данном случае, прилежащий катет это "b" (равная "a"), а гипотенуза это "c" (равная "a").

Итак, косинус угла равен:

cos(угол) = b/c = a/a = 1

Ответ: Косинус двугранного угла при основании пирамиды равен 1.