Площа трикутника АВС дорівнює 48см². На бісектрисі СМ позначили точку D так, що CD / DM = 4/5 Відомо, що AC:BC = 9:7. Знайдіть площу трикутника ADC

для розв'язання цієї задачі нам потрібно використати формулу для площі трикутника: S = 1/2 * a * b * sin(C), де a та b - сторони трикутника, а C - кут між цими сторонами.

За теоремою бісектрис, ми знаємо, що CM / AB = DM / DB. Оскільки AB = AC + CB, то ми можемо записати:

CM / (AC + CB) = DM / DB

За теоремою Піфагора, ми знаємо, що AC^2 + BC^2 = AB^2. Звідси ми можемо вивести, що:

AC / AB = 9 / 16

BC / AB = 7 / 16

Тоді ми можемо записати:

CM / (9x + 7x) = DM / (16x - 7x)

CM / 16x = DM / 9x

DM = (9/16) * CM

Також ми можемо записати, що:

CD / CM = 4 / 5

CD = (4/5) * CM

DM = CM - CD

DM = CM - (4/5) * CM

DM = (1/5) * CM

Тепер ми можемо виразити сторони трикутника ADC через сторони трикутника ABC:

AD / AC = DM / CM

AD / 9x = (1/5) * CM / CM

AD / 9x = 1 / 5

AD = (9/5) * x

DC / BC = DM / CM

DC / 7x = (1/5) * CM / CM

DC / 7x = 1 / 5

DC = (7/5) * x

Тепер ми можемо знайти площу трикутника ADC:

S_ADC = 1/2 * AD * DC * sin(ADC)

За теоремою синусів, ми можемо записати:

sin(ADC) = sin(ABC) / (AD / AC)

sin(ABC) = sqrt(1 - cos^2(ABC)) = sqrt(1 - (BC^2 + AC^2 - AB^2) / (2 * BC * AC))

sin(ABC) = sqrt(1 - ((7/16)^2 + (9/16)^2 - 1) / (2 * (7/16) * (9/16)))

sin(ABC) = sqrt(1 - 25 / 784)

sin(ABC) = sqrt(759) / 28

Тоді ми можемо записати:

S_ADC = 1/2 * (9/5) * x * (7/5) * x * (sqrt(759) / 28) / ((9/16) * x)

S_ADC = 21/16 * sqrt(759) cm^2

Отже, площа трикутника ADC дорівнює 21/16 * sqrt(759) квадратних сантиметрів