Перпендикуляр, который проведён из вершины прямоугольника к его диагонали, делит прямой угол в отношении 7 : 3.
Вычисли острый угол между диагоналями прямоугольника.\
Острый угол между диагоналями равен ?

Добрый день! Давайте рассмотрим данный вопрос.

У нас есть прямоугольник с вершиной A и диагональю BD, и из вершины A проведена перпендикулярная линия, которая делит прямой угол DAB в отношении 7:3.

Допустим, перпендикуляр делит угол DAB на две части, и пусть одна часть равна 7x и другая равна 3x (где x - это какое-то положительное число).

Зная это, мы можем выразить синус угла DAB через отношение смежных сторон прямоугольного треугольника DAB. Синус угла DAB равен отношению противоположной стороны (в данном случае, стороны AB) к гипотенузе (в данном случае, диагонали BD).

Согласно теореме Пифагора, сторона BD равна корню из суммы квадратов длин сторон AB и AD. Поэтому, BD = √(AB^2 + AD^2).

Теперь мы знаем, что синус угла DAB равен AB / BD. То есть, sin(DAB) = AB / BD.

Мы также знаем отношение между частями угла DAB: 7x / 3x, что равно 7 / 3. Мы можем выразить AB через это отношение: AB = 7k и BD = 3k, где k - это какое-то положительное число.

Теперь, мы можем выразить sin(DAB) через k: sin(DAB) = (7k) / (3k). Заметим, что k сокращается, получается sin(DAB) = 7 / 3.

Теперь нам нужно найти острый угол между диагоналями прямоугольника. Обозначим этот угол как x. Мы знаем, что синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противоположной стороны к гипотенузе.

В нашем случае, острый угол находится противоположно диагонали AC (где C - это точка на противоположной стороне прямоугольника от вершины A). Поэтому, sin(x) = AC / BD.

Мы знаем, что BD = 3k (как мы вычислили ранее), поэтому sin(x) = AC / 3k.

Согласно свойству прямоугольника, диагонали равны по длине, поэтому AC = BD = 3k.

Теперь мы можем выразить sin(x) через k: sin(x) = (3k) / (3k). Заметим, что k сокращается, получается sin(x) = 1.

Теперь нам нужно найти сам угол x. Для этого мы можем использовать обратную функцию синуса (также известную как арксинус). То есть, x = arcsin(1).

Поскольку arcsin(1) равен 90°, острый угол между диагоналями прямоугольника равен 90°.

Таким образом, острый угол между диагоналями прямоугольника равен 90°.