Периметр ромба = 40см, а кут між стороною та висотою 60°. Знайдіть площу ромба.

Щоб знайти площу ромба, нам потрібно знати довжину його сторони. Оскільки у завданні вказано лише периметр ромба, ми спочатку знайдемо довжину сторони, а потім використаємо цю інформацію для обчислення площі.

Периметр ромба обчислюється за формулою: P = 4s, де P - периметр, s - довжина сторони.

У нашому випадку P = 40 см, тому 40 = 4s. Ділимо обидві частини рівняння на 4: s = 40 / 4 = 10 см.

Тепер, коли ми знаємо довжину сторони ромба, можемо знайти його площу. Площа ромба обчислюється за формулою: S = (d₁ * d₂) / 2, де d₁ і d₂ - діагоналі ромба.

У ромбі діагоналі перпендикулярні одна до одної і перетинаються під кутом 90°. Завдяки цьому, можемо розбити ромб на дві прямокутні трикутники.

Візьмемо один з цих трикутників. Висота трикутника дорівнює стороні ромба, оскільки кут між стороною і висотою складає 60°. Таким чином, ми маємо прямокутний трикутник з відомою стороною (10 см) і відомим кутом (60°).

За до тригонометричних функцій можна знайти довжину однієї зі сторін трикутника. У нашому випадку відомий гіпотенуза (10 см) і кут (60°), тому ми можемо використати косинус: cos(60°) = a / 10.

cos(60°) = 1/2, отже, 1/2 = a / 10.

Множимо обидві частини рівняння на 10: 10 * (1/2) = a.

5 = a.

Таким чином, друга сторона прямокутного трикутника дорівнює 5 см.

Тепер, коли ми знаємо довжину однієї сторони ромба (10 см) і довжину однієї з його діагоналей (5 см), ми можемо обчислити площу ромба.

Площа ромба обчислюється за формулою: S = (d₁ * d₂) / 2, де d₁ і d₂ - діагоналі ромба.

У нашому випадку, ми знаємо одну діагональ (5 см), але потрібно знайти другу діагональ.

Зауважимо, що у ромбі діагоналі діляться навпіл і перпендикулярні одна до одної. Оскільки кут між стороною і висотою ромба складає 60°, то ми можемо утворити прямокутний трикутник з половиною діагоналі, стороною ромба і відрізком, що з'єднує дві вершини ромба.

У цьому прямокутному трикутнику, сторона ромба (10 см) є катетом, а половина діагоналі є гіпотенузою.

Застосовуючи тригонометрію, ми можемо обчислити довжину половини діагоналі. Застосуємо тангенс кута, оскільки у нас відомі протилежний катет (10 см) і прилеглий катет (половина діагоналі).

tan(60°) = протилежний катет / прилеглий катет.

tan(60°) = √3.

Отже, √3 = 10 / прилеглий катет.

Множимо обидві частини рівняння на прилеглий катет:

прилеглий катет * √3 = 10.

Тепер можемо обчислити прилеглий катет:

прилеглий катет = 10 / √3.

Раціоналізуємо дріб:

прилеглий катет = (10 / √3) * (√3 / √3) = (10√3) / 3.

Таким чином, половина діагоналі дорівнює (10√3) / 3.

Аби знайти повну діагональ ромба, множимо половину діагоналі на 2, оскільки діагоналі діляться навпіл і перпендикулярні одна до одної.

Повна діагональ (d) ромба дорівнює: d = 2 * (10√3) / 3.

d = (20√3) / 3.

Тепер, коли у нас є довжина обох діагоналей (5 см і (20√3) / 3 см), ми можемо обчислити площу ромба.

Площа ромба обчислюється за формулою: S = (d₁ * d₂) / 2, де d₁ і d₂ - діагоналі ромба.

S = (5 * (20√3) / 3) / 2.

S = (100√3) / 6.

Раціоналізуємо дріб:

S = (50√3) / 3.

Таким чином, площа ромба дорівнює (50√3) / 3 квадратних сантиметрів.