Периметр равностороннего треугольника равен 2р. Какими должны быть его стороны, чтобы этот треугольник был наибольшим объемом тела, полученным при повороте его высоты , напишите шаги.

4p/5 - основание;

3p/5 - боковая сторона.

Объяснение:

При вращении равнобедренного треугольника с высотой h и основанием 2a получаем конус с радиусом основания a и высотой h.

Объем конуса:

V = 1/3 * π *a^2 *h

Чтобы объем был наибольшим, a^2*h должно быть наибольшим, или a^4*h^2 должно быть наибольшим.

Поскольку периметр равен 2p, то боковая сторона равна:

b=(2p-2a)/2 = p-a

Откуда квадрат высоты:

h^2 = (p-a)^2 - a^2 = p^2 -2pa

a^4*h^2 = a^4*(p^2 -2pa) = p*(a^4p -2a^5)

Иначе говоря, pa^4 -2a^5 должно быть наибольшим.

Но главное не забывать, что должно быть выполнены неравенства треугольника:

2b>a → a <2(p-a) → a<2p/3

a+b>b → a>0 (что в принципе логично)

То есть необходимо найти такое значение a, при котором функция

f(a) =  pa^4 -2a^5 = a^4(p-2a) принимает на отрезке  0<a<2p/3 наибольшее значение. (p - константа)

Найдем производную функции:

f'(a) = 4pa^3 - 10a^4 = 0

Поскольку a>0, то на a^3 можно сократить.

4p - 10a= 0

2p = 5a

a = 2p/5<2p/3 - точка экстремума функции.

Поскольку точка экстремума 2p/5 единственная, то максимальное  значение находится в одной из точек: a = 0; a=2p/5;  a = 2p/3

f(0) = 0

f(2p/5) = (2p/5)^4 *(p - 4p/5) = 16*(p/5)^5

f(2p/3) = (2p/3)^4*(p-4p/3) < 0

Таким образом, максимальный объем будет при таких сторонах треугольника:

2a = 2*(2p/5)=4p/5 - основание;

b = p-a = p-2p/5 = 3p/5 - боковая сторона.