Параллельной проекцией трапеции является четырёхугольник. докажите, что этот четырёхугольник - трапеция.

Для доказательства того, что параллельной проекцией трапеции будет четырехугольник, который является трапецией, нам необходимо рассмотреть свойства параллельных проекций и свойства трапеции.

1. Свойства параллельных проекций:
- Параллельные прямые на плоскости будут проецироваться на параллельные прямые.
- Параллельные отрезки на плоскости будут проецироваться на параллельные отрезки.
- Углы между параллельными прямыми и параллельными отрезками будут сохраняться при проекции.

2. Свойства трапеции:
- Трапеция - это четырехугольник, у которого две стороны параллельны.
- У трапеции существуют два основания - более длинное и более короткое отрезки, которые являются параллельными сторонами трапеции.
- Углы между основаниями и боковыми сторонами трапеции могут быть как прямыми, так и не прямыми.

Теперь приступим к доказательству. Предположим, что у нас есть трапеция ABCD и ее параллельная проекция, обозначим ее как A'B'C'D'.

Шаг 1:
Посмотрим на стороны трапеции ABCD и их проекции A'B', B'C', C'D' и D'A'. Заметим, что сторона AB параллельна стороне DC, а сторона BC параллельна стороне AD. Следовательно, стороны A'B' и C'D' будут параллельны и стороны B'C' и D'A' также будут параллельны.

Шаг 2:
Так как проекция параллельна сторонам трапеции, она будет иметь такую же форму, как и сама трапеция. Поэтому стороны A'B' и C'D' будут параллельны, как и стороны AB и CD трапеции ABCD.

Шаг 3:
Согласно свойствам параллельных проекций, углы между параллельными прямыми и параллельными отрезками сохраняются при проекции. Угол между AB и BC в трапеции ABCD будет равен углу между A'B' и B'C' в проекции A'B'C'D'. Поэтому углы между сторонами A'B' и B'C' будут также равны углам между сторонами AB и BC.

Шаг 4:
Теперь рассмотрим основания трапеции ABCD и их проекции. Основание AB будет параллельно основанию CD, а основание A'B' будет параллельно основанию C'D'. Поэтому основания трапеции и их проекция будут параллельны.

Шаг 5:
После рассмотрения свойств параллельных проекций и свойств трапеции, мы видим, что четырехугольник A'B'C'D', являющийся параллельной проекцией трапеции ABCD, имеет все основные свойства трапеции.

Таким образом, мы доказали, что этот четырехугольник A'B'C'D' - трапеция.