Отрезок MH пересекает некоторую плоскость в точке К. Через кон- цы отрезка проведены прямые HP и ME, перпендикулярные плоско-
сти и пересекающие ее в точках Ри E. Найдите PE, если HP = 4 см,
НК = 5 см, ME = 12 см.
!!
с рисунком

Для решения этой задачи нам понадобится применить свойства перпендикуляров и подобия.

На рисунке, где точка К - точка пересечения отрезка MH с плоскостью, обозначим точку пересечения прямых HP и ME как Q.

По свойству перпендикуляров, прямые HP и ME образуют прямоугольный треугольник HPQ с прямым углом в точке P.

Далее, по свойству подобных треугольников, имеем следующее:

1. Треугольник ЕQP подобен треугольнику КQP, так как угол PQE является прямым, и угол KQP является прямым углом.

2. Треугольник КQP подобен треугольнику KHQ, так как угол KQP является прямым углом, и угол HQK является прямым.

3. Треугольник KHQ подобен треугольнику HPQ, так как угол KHQ является прямым углом, и угол HPQ является прямым.

Используя эти свойства подобных треугольников, мы можем составить пропорцию:

PE/QE = QK/HP

Заметим, что треугольники KHQ и HPQ имеют общий угол HQK и прямой угол H. Поэтому эти треугольники являются подобными. Также, треугольник KHQ и треугольвик КQS объединяет общий угол Q, поэтому они тоже являются подобными.

Таким образом, имеем две пропорции:

KH/HQ = HQ/KQ

и

KH/HQ = PQ/KP

Теперь заметим, что точка H является общей для обоих треугольников KHQ и HPQ, поэтому соотношение сторон KH и HQ в этих двух треугольниках равно.

Таким образом, пропорции выглядят следующим образом:

KH/HQ = HP/PQ

и

KH/HQ = PQ/KP

Мы можем записать эти пропорции с использованием данных из условия задачи:

KH/HQ = 4/(5 - x) (1) (где x - искомая величина PE)

и

KH/HQ = (5 - x)/12 (2)

Используем свойства равенства пропорций и избавимся от дробей:

(4/(5 - x)) = ((5 - x)/12)

Умножим обе части уравнения на (5 - x) и 12:

4 * 12 = (5 - x) * (5 - x)

48 = (5 - x) * (5 - x)

Раскроем скобки:

48 = 25 - 10x + x^2

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

x^2 - 10x + 25 - 48 = 0

x^2 - 10x - 23 = 0

Теперь мы можем решить этот квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-10)^2 - 4 * 1 * (-23) = 100 + 92 = 192

Дискриминант положительный, поэтому у нас есть два корня:

x1 = (-(-10) + √192) / (2 * 1) ≈ 9.39

x2 = (-(-10) - √192) / (2 * 1) ≈ 0.61

Так как PE - длина отрезка, значит x2 = 0.61 нам не подходит.

Таким образом, PE ≈ 9.39 см.

Итак, длина отрезка PE равна примерно 9.39 см.