Отрезки АД и МК пересекаются в точке О так,что АО=ДО,МО=ОК.Докажите, что прямые АМ и КД параллельны

★☆★ Чертёж смотрите во вложении ★☆★

Дано:

Отрезки АМ и ВК пересекаются в точке О.

Точка О — серединная точка для отрезков АМ и ВК (ОА = ОМ ; ОВ = ОК).

Доказать:

АВ║МК.

Доказательство:

                      ⵈ◊ⵈ Для седьмого класса ⵈ◊ⵈ

Соединим точки А и В отрезком АВ ; точки В и М отрезком ВМ ; точки К и М отрезком КМ ; точки А и К отрезком АК.

Рассмотрим ΔАОВ и ΔМОК.

ОА = ОМ (по условию).

ОВ = ОК (по условию).

∠АОВ = ∠МОК (как вертикальные).

Следовательно, ΔАОВ = ΔМОК по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

▸В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы◂

ОВ = ОК.

Следовательно, ∠ВАО = ∠ОМК.

Рассмотрим прямые АВ и МК при секущей АМ.

▸Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны◂

Накрест лежащие ∠ВАО = ∠ОМК (по выше доказанному), следовательно, АВ║МК (по выше сказанному).

                      ⵈ◊ⵈ Для восьмого класса ⵈ◊ⵈ

Соединим точки А и В отрезком АВ ; точки В и М отрезком ВМ ; точки К и М отрезком КМ ; точки А и К отрезком АК.

Рассмотрим получившиеся выпуклый четырёхугольник АКМВ.

АМ и ВК — диагонали.

▸Если диагонали выпуклого четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник — параллелограмм◂

ОА = ОМ (по условию).

ОВ = ОК (по условию).

Следовательно, четырёхугольник АКМВ — параллелограмм.

▸Параллелограмм — четырёхугольник, противоположные стороны которого параллельны ◂

Поэтому, по выше сказанному —

АВ║МК ; АК║ВМ

Объяснение: