Отношение периметров двух подобных треугольников равно 5/2, сумма площадей этих треугольников равна 58 см2. Вычисли площадь каждого треугольника.​

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать знание о подобных треугольниках и их свойствах.

1. Из условия задачи мы знаем, что отношение периметров двух подобных треугольников равно 5/2. Обозначим периметры этих треугольников как P1 и P2.
Пусть P1 - периметр первого треугольника, а P2 - периметр второго треугольника.
Имеем: P1 / P2 = 5/2

2. Также из условия мы знаем, что сумма площадей этих треугольников равна 58 см². Обозначим площади этих треугольников как S1 и S2.
Пусть S1 - площадь первого треугольника, а S2 - площадь второго треугольника.
Имеем: S1 + S2 = 58 см²

Теперь приступим к решению задачи:

1. Проведем анализ условия задачи и рисунка. Заметим, что данные треугольники имеют общий угол (угол А) и стороны, пропорциональные друг другу. Таким образом, треугольники ABC и A'B'C' подобные.

2. Сравним соответствующие стороны подобных треугольников:
AB / A'B' = BC / B'C' = AC / A'C'

3. Обозначим длины сторон первого треугольника (ABC) как a, b и c, а длины соответствующих сторон второго треугольника (A'B'C') как a', b' и c'.

4. Используя пропорции, полученные из подобия треугольников, можно записать следующие соотношения:
a / a' = b / b' = c / c' (1)

5. Также из определения периметра треугольника, мы знаем, что периметр равен сумме длин его сторон. Тогда можно записать следующее равенство:
P1 = a + b + c (2)
P2 = a' + b' + c' (3)

6. Теперь, используя информацию из условия задачи, можем записать следующие равенства:
P1 / P2 = 5/2 (из условия)
a + b + c / a' + b' + c' = 5/2 (подставляем значения из (2) и (3))
(a + b + c) / (a' + b' + c') = 5/2 (4)

7. Далее, вспомним, что S = (1/2) * основание * высота.
Обозначим высоты этих треугольников как h1 и h2.
Тогда площади треугольников могут быть выражены следующим образом:
S1 = (1/2) * a * h1
S2 = (1/2) * a' * h2

8. Воспользуемся данной информацией, суммируем площади треугольников и записываем следующее равенство:
S1 + S2 = (1/2) * a * h1 + (1/2) * a' * h2
= (1/2) * (a * h1 + a' * h2)
= (1/2) * (a * h1 + (a * (h1 * (b' / b)))) (подставляем значения из (1))
= (1/2) * a * (h1 + (h1 * (b' / b)))
= (1/2) * a * h1 * (1 + (b' / b))
= (1/2) * a * h1 * (1 + (c' / c))
= (1/2) * (a * h1 * (1 + (c' / c)))

9. Имея равенство для площадей треугольников, можно записать следующее равенство, используя информацию из условия задачи:
S1 + S2 = 58
(1/2) * (a * h1 * (1 + (c' / c))) = 58
a * h1 * (1 + (c' / c)) = 116 (умножаем обе части на 2)

10. Теперь у нас есть два уравнения:
(a + b + c) / (a' + b' + c') = 5/2 (из (4))
a * h1 * (1 + (c' / c)) = 116 (из (9))

11. Перепишем первое уравнение в виде:
(a + b + c) = (5/2) * (a' + b' + c')

12. Заметим, что сумма длин сторон есть периметр. Тогда можем переписать равенство (12) следующим образом:
P1 = (5/2) * P2

13. Далее приступаем к решению системы уравнений (11) и (12).
Так как первое уравнение получено из подобных треугольников, тогда второе уравнение связывает периметры двух треугольников и площади треугольников.

14. Подставим выражение для периметра первого треугольника из (2) в (12):
a + b + c = (5/2) * (a' + b' + c')

15. Получаем уравнение вида:
2a + 2b + 2c = 5a' + 5b' + 5c'
2a + 2b + 2c = 5(a' + b' + c')

16. Так как сумма длин сторон равна периметру, то можно записать:
2P1 = 5P2

17. Далее, подставим это выражение в (11):
(2P1) / P2 = 5/2
2P1 = (5/2) * P2
2(a + b + c) = (5/2) * (a' + b' + c')

18. Раскроем скобки:
2a + 2b + 2c = (5/2) * a' + (5/2) * b' + (5/2) * c'

19. Последние 2 уравнения (16) и (18) являются эквивалентными и представляют собой систему уравнений. Найдем их решение.

20. Решим систему уравнений (16) и (18):

2a + 2b + 2c = (5/2) * a' + (5/2) * b' + (5/2) * c'
2a - (5/2) * a' + 2b - (5/2) * b' + 2c - (5/2) * c' = 0

Исключим переменные a, b и c:

(4a - 5a') + (4b - 5b') + (4c - 5c') = 0

Поскольку (a + b + c) = (5/2) * (a' + b' + c'), то:

4(a' + b' + c') - 5(a' + b' + c') = 0
-a' - b' - c' = 0

Следовательно, a' + b' + c' = 0

21. Приравняем a' + b' + c' к x (произвольная константа) и перепишем уравнение площади в виде:

a * h1 * (1 + (c' / c)) = 116
a * h1 * (1 - x / (a + b + c)) = 116
a * h1 * ((a + b + c - x) / (a + b + c)) = 116
a * h1 * ((a + b + c - x) / (5(a + b + c))) = 116

22. Правая часть равенства равна 116. Поделим обе части равенства на a * h1 * (a + b + c):

((a + b + c - x) / (5(a + b + c))) = (116 / (a * h1 * (a + b + c)))
(a + b + c - x) = (116 / (5 * a * h1))

23. Заметим, что a + b + c = (5/2) * (a' + b' + c') = (5/2) * x

((5/2) * x - x) = (116 / (5 * a * h1))
(5/2 - 1) * x = (116 / (5 * a * h1))
(5/2 - 2/2) * x = (116 / (5 * a * h1))
(3/2) * x = (116 / (5 * a * h1))

24. Решаем полученное уравнение относительно x:

x = (116 / (5 * a * h1)) * (2/3)
x = (116 * 2) / (5 * 3 * a * h1)
x = 232 / (15 * a * h1)

Подставим значение x в выражение a' + b' + c':

a' + b' + c' = x
a' + b' + c' = 232 / (15 * a * h1)

Обозначим 232 / (15 * a * h1) как y:

a' + b' + c' = y

25. Вернемся к уравнению для периметров:

2P1 = 5P2
2(a + b + c) = 5(a' + b' + c')
2((5/2) * x) = 5y
2(5x/2) = 5y
5x = 5y

Имеем x = y

То есть 232 / (15 * a * h1) = 232 / (15 * a' * h2)

Упростим исходное уравнение:

a * h1 = a' * h2

26. Таким образом, мы пришли к следующему условию:
a * h1 = a' * h2
a * h1 * (1 + (c' / c)) = 116

Заметим, что (a * h1 * (1 + (c' / c))) = (a * h1) + (a * h1 * (c' / c))

Тогда можем переписать последнее уравнение в следующем виде:

(a * h1) + (a * h1 * (c' / c)) = 116

27. Воспользуемся первым условием - a * h1 = a' * h2:

a' * h2 + (a' * h2 * (c' / c)) = 116

Взяли a' * h2 за равенство 116, чтобы упростить уравнения.

a' * h2 * (1 + (c' / c)) = 116

Мы получили идентичные уравнения!

28. Таким образом, a * h1 * (1 + (c' / c)) = a' * h2 * (1 + (c' / c)) = 116

Когда неизвестные в разных подобных фигурах связаны одним и тем же условием в одном уравнении, мы можем
использовать это уравнение для решения задачи.

Выполняя дальнейшие вычисления, неизвестные значения исчезают, и мы получим одинаковый ответ для a * h1 и a' * h2.

Значит, площади треугольников ABC и A'B'C' равны.