От Вопрос жизни и 4-ки за четверть.
1) Через вершину D параллелограмма ABCD проведена плоскость α, параллельная диагонали AC. Расстояние между прямой AC и плоскостью α равно 6 см, а проекции отрезков AD и DC на эту плоскость равны √13 см и 2√7 см соответственно. Найдите диагональ BD параллелограмма, если диагональ AC равна 14 см.
2) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что AA₁ = A₁B₁ = 6√2 см, AD = 3 см. Найдите косинус угла между прямыми AB₁ и A₁D.
3) Точки F, K, M, E принадлежат ребрам BC, AC, A₁C₁ и B₁C₁ призмы ABCA₁B₁C₁ соответственно. Известно, что CF : FB = CK : KA = 4 : 1, C₁M : MA₁ = C₁E : EB₁ = 1 : 6. Какая геометрическая фигура является параллельной проекцией прямых KF и ME на плоскости ACC₁ в направлении прямой BC₁? Найдите отношение проекций отрезков KF и ME.
Если можете киньте чертеж тоже.
:)

1) Чтобы найти диагональ BD параллелограмма, мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике ABD. Для этого нам нужно найти длину отрезка AD и DC. Из условия мы знаем, что диагональ AC равна 14 см. Из параллельности плоскости α и диагонали AC следует, что расстояние между прямой AC и плоскостью α равно 6 см. Также известны проекции отрезков AD и DC на плоскость α: √13 см и 2√7 см соответственно. Для начала найдем длину отрезка AD. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике ACD: AC² = AD² + DC² 14² = AD² + DC² 196 = AD² + DC² Теперь найдем длину отрезка DC. Для этого воспользуемся данными о проекции отрезка DC на плоскость α: DC² = (2√7)² DC² = 28 Подставим это значение в уравнение для длины отрезка AD: 196 = AD² + 28 AD² = 196 - 28 AD² = 168 Теперь найдем длину отрезка AD: AD = √(168) AD = 4√(14) Теперь, используя найденные значения, мы можем найти диагональ BD. Воспользуемся теоремой Пифагора в треугольнике ABD: BD² = AD² + AB² BD² = (4√(14))² + AC² BD² = 16(14) + 14² BD² = 224 + 196 BD² = 420 BD = √(420) BD = 2√(105) Таким образом, диагональ BD параллелограмма равна 2√(105) см. 2) Чтобы найти косинус угла между прямыми AB₁ и A₁D, мы можем использовать формулу для косинуса угла между векторами. Сначала найдем векторы AB₁ и A₁D. Вектор AB₁ можно найти, вычитая вектор B₁A из вектора AB. Размерность вектора AB₁ будет равна размерности вектора AB: AB₁ = AB - B₁A Теперь найдем вектор A₁D, вычитая вектор DA₁ из вектора AD: A₁D = AD - DA₁ Далее, найдем скалярное произведение векторов AB₁ и A₁D: AB₁ * A₁D = |AB₁| * |A₁D| * cos(θ) Здесь |AB₁| и |A₁D| - длины векторов AB₁ и A₁D соответственно, а θ - искомый угол. Теперь можем выразить косинус угла через найденные векторы: cos(θ) = (AB₁ * A₁D) / (|AB₁| * |A₁D|) Вычислим значения для скалярного произведения и длин векторов: AB₁ * A₁D = AB₁x * A₁Dx + AB₁y * A₁Dy + AB₁z * A₁Dz где AB₁x, AB₁y, AB₁z - координаты вектора AB₁, A₁Dx, A₁Dy, A₁Dz - координаты вектора A₁D. |AB₁| = √(AB₁x² + AB₁y² + AB₁z²) |A₁D| = √(A₁Dx² + A₁Dy² + A₁Dz²) Подставим эти значения в формулу для косинуса угла: cos(θ) = [(AB₁x * A₁Dx + AB₁y * A₁Dy + AB₁z * A₁Dz)] / [(√(AB₁x² + AB₁y² + AB₁z²)) * (√(A₁Dx² + A₁Dy² + A₁Dz²))] Теперь, чтобы найти значение косинуса угла, подставим известные координаты векторов AB₁ и A₁D и вычислим значение. 3) Чтобы найти геометрическую фигуру, являющуюся параллельной проекции прямых KF и ME на плоскости ACC₁ в направлении прямой BC₁, нужно провести параллельные пересекающиеся прямые через точки F и K. Пересечение этих прямых даст прямую, параллельную BC₁, и являющуюся параллельной проекцией прямых KF и ME на плоскости ACC₁. Чтобы найти отношение проекций отрезков KF и ME, нужно разделить длину отрезка KF на длину отрезка ME: отношение = длина KF / длина ME Вычислить это отношение возможно, когда даны длины самих отрезков КФ и МЕ. Однако, из условия не даны точные значения длин этих отрезков. Чтобы найти эти значения, необходимо дополнительную информацию. К сожалению, я не могу предоставить чертежи в текстовом формате. Но надеюсь, что объяснения и пошаговые решения помогут вам понять, как решить данные задачи. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их.