Основи трапеції дорівнюють а і b (a>b), кути при більшій основі дорівнюють 30º і 45°. Знайти площу трапеції. Відповідь: (√3 −1)(b² -a²)/4

Пусть ∠ВАК=45°, ∠CDH= 45°, ВС=в , АD=а.

S( трапеции)=1/2*ВК*(АD+ВС).

Ищем высоту.

Обозначим ВК=х. Тогда АК=х , тк прямоугольный ΔАВК- равнобедренный с двумя равными углами по 45° ⇒ СН=х.

ΔСDH- прямоугольный . По свойству угла в 30° , CD=2x. По т Пифагора HD=√((2x)²-x²)=√(3x²)=x√3.

Т. к. с одной стороны AD=a, с другой

AD=АК+КН+НD=х+ВС+ x√3=х+b+ x√3, то

a=x+b+ x√3, a-b=x(1+√3) ,x=(a-b)/(1+√3).

ВК=(a-b)/(1+√3).

S( трапеции)=1/2* (a-b)/(1+√3)*( a+b)=

( a²-b²)/(2(1+√3)).

Избавляясь от иррациональности в знаменателе

( a²-b²)/(2(1+√3))=( a²-b²)* (1-√3)/(-2*2)=

= ( a²-b²)* (-1+√3)/4