Основания трапеции равны a и b, причем a > b. прямые, соеди-няющие середину большего основания с концами меньшего основания, пересекают диагонали трапеции в точках m и n. найти длину отрезка mn.

Трапеция ABCD; AD II BC; AD = a; BC = b; К - середина AD; M - точка пересечения AC и BK; N - то же для CK и BD;
Первое, что надо понять - MN II AD; В самом деле, ABCK - трапеция, поэтому точка M делит её диагонали в отношении CM/AM = BC/AK = 2b/a;
Аналогично BN/ND = BC/KD = 2b/a; пропорции одинаковые, поэтому MN II AD;
Поскольку треугольники MNC и AKC подобны, все, что нужно - найти CM/AC; ясно, что MN/AK = CM/AC;
Пусть AM = x; CM = y; из подобия треугольников BCM и AKM
x/(a/2) = y/b; x = ya/2b; => x + y = y(1 + a/2b); y/(x + y) = 1/(1 + a/2b);
=> MN = AK/(1 + a/2b) = (a/2)/(1 + a/2b) = ab/(2b + a); вроде так :(

Для начала, давайте представим себе ситуацию и посмотрим на рисунок:

(a)_____________
|\ /|
| \ / |
| \ / |
| \ / |
| X |
| |
(b)____|______|

На рисунке, (a) и (b) - это основания трапеции, X - точка пересечения диагоналей трапеции, м и n - точки пересечения прямых, соединяющих середину основания a с концами основания b, и диагоналей трапеции.

Теперь давайте рассмотрим треугольник Xmn. У этого треугольника мы уже знаем, что два угла (Xmn и Xnm) равны, так как это вертикальные углы. Также у нас есть два угла при основаниях (Xmn и Xnm), которые также равны, так как это углы между параллельными прямыми mn и ab, их можно также назвать соответственными углами. Итак, у нас получается, что треугольник Xmn - равнобедренный треугольник.

В равнобедренном треугольнике две стороны, идущие от основания до вершины, равны по длине. То есть mn = Xn = Xm.

Теперь давайте рассмотрим отрезок Xm. Самым простым способом найти длину отрезка Xm - это найти среднее арифметическое значение длин оснований a и b:

Xm = (a + b) / 2

Таким образом, мы можем сказать, что длина отрезка mn равна (a + b) / 2.

Надеюсь, что это объяснение понятно и полезно. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать.