Основания abc и a1b1c1 призмы abca1b1c1— равносторонние треугольники. отрезок, соединяющий центр o основания abc с серединой ребра a1b1, перпендикулярен основаниям призмы. 
найдите угол между прямой bc и плоскостью abc1, если высота призмы равна стороне основания.

∠CBD = arcsin(3√7/14) ≈ arcsin(0,567) => ∠CBD ≈ 34,6°.

Объяснение:

Высота призмы - отрезок ОН1 по условию (так как он перпендикулярен основаниям). =>

АВ=ВС=АС=ОН1.

Основания призмы - правильные треугольники. Следовательно, центр основания АВС - точка О лежит на пересечении высот(медиан, биссектрис) этого треугольника.

Проведем высоту СН основания и опустим перпендикуляр С1Р на плоскость, содержащую основание АВС. Точка Р принадлежит продолжению прямой НС, так как РН - проекция С1Н на плоскость, содержащую основание АВС.

Прямоугольные треугольники ОН1Н и РС1С равны по катету С1Р=Н1О и гипотенузе С1С = Н1Н.

=> PC = OH = (1/3)*СН (так как СН - медиана и делится в отношении 2:1, считая от вершины).

СН = (√3/2)*а, где а - сторона треугольника. Пусть сторона основания равна 1. Тогда

СН = √3/2, а РН = РС+СН = (1/3)*(√3/2)+√3/2 = 2√3/3.

В прямоугольном треугольнике РС1Н по Пифагору

С1Н = √(С1Р²+РН²) = √(1+12/9) = √21/3.

Прямоугольные треугольники ∆СDН ~ ∆C1PH по острому углу С1НР.

Из подобия: СD/C1P = CH/C1H  =>  CD = CH*C1P/C1H  =>

CD = (√3/2)*1/(√21/3) = 3√7/14.

Sin(∠CBD) = CD/CB = 3√7/14.

∠CBD = arcsin(3√7/14) ≈ arcsin(0,567) => ∠CBD ≈ 34,6°.